一元二次方程两根比问题的解法

题：已知一元二次方程ax^²+bx+c=0两根之比为2/3，

求证：6b^²=25ac．

分析：要想解决这个问题，首先必须熟悉一元二次方程的知识点——根的定义（如果α是一元二次方程ax^²+bx+c=0的根，则aα^²+bα+c=0）、求根公式x=[-b±√(b^²-4ac)]/(2a)、韦达定理（根和系数的关系）(x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a)，以及二次根式的运算等．

解法1：由求根公式，得

x₁=[-b+√(b^²-4ac)]/(2a)，

x₂= [-b-√(b^²-4ac)]/(2a).

如果x₁/x₂=2/3，则

{[-b+√(b^²-4ac)]/(2a)}：{[-b-√(b^²-4ac)]/(2a)}=2/3，

去分母，得

3{[-b+√(b^²-4ac)]/(2a)}=2{[-b-√(b^²-4ac)]/(2a)}，

整理，得

5√(b^²-4ac)]=b，

两边平方，得

25(b^²-4ac)=b^²，

去括号，整理，即得6b^²=25ac．

如果x₂/x₁=2/3，则

{[-b-√(b^²-4ac)]/(2a)}：{[-b+√(b^²-4ac)]/(2a)}=2/3，

去分母，得

3{[-b-√(b^²-4ac)]/(2a)}=2{[-b+√(b^²-4ac)]/(2a)}，

整理，得

-5√(b^²-4ac)]=b，

两边平方，得

25(b^²-4ac)=b^²，

去括号，整理，即得6b^²=25ac．

综上，6b^²=25ac．

点评：这种证法思路清晰，抓住了一元二次方程的“根”——求根公式，但美中不足的是过程运算较繁杂．

证法2：设方程的两根为2k和3k，则由根的定义，得

a(2k)^²+b(2k)+c=0，

a(3k)^²+b(3k)+c=0，

即4ak^²+2bk+c=0………(1)

9ak^²+3bk+c=0………(2)

(2)-(1)，得

5ak^²+bk=0，

因为k≠0，所以5ak+b=0，

所以k=-b/(5a)，代入（1），得

4a[-b/(5a)]^²+2b[-b/(5a)0+c=0,

去分母，得

4ab^²-10ab^²+25a^²c=0，

即-6ab^²=-25a^²c，

因为a≠0，

所以6b^²=25ac．

点评：这种证法抓住两根比为2：3，引入参数k，使两根的关系显得清晰可用．此时如果运用韦达定理，则证明更为简洁明了．

证法3：设两根为x₁，x₂，则

x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，

由题意，得

x₂/x₁+x₁/x₂=2/3+3/2，

所以(x₁^²+x₂^²)/( x₁x₂)=13/6，

即[(x₁+x₂)^²-2 x₁x₂]/( x₁x₂)=13/6，

所以[(-b/a)^²-2c/a]/(c/a)=13/6，

整理，得，b^²/(ac)-2=13/6，

所以6b^²=25ac．

点评：这种证法最为巧妙，巧在构造关于两根和谐对称得式子x₂/x₁+x₁/x₂=2/3+3/2，为韦达定理得运用创造良好的条件．