经典再现16——构造全等证相等

题：如图，等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E．

求证：∠ADB=∠CDE．

分析：欲证∠ADB=∠CDE，老规矩，最常用的方法是证明三角形全等．∠ADB是ΔADB的内角，∠CDE所在的ΔCDE显然与ΔADB不全等，因此，设法进行等量代换，先构造其他三角形全等．

注意ΔADB与ΔACE，由已知条件可知∠ABD=∠CAE，AB=AC，

因此，只需要过点C作CF⊥AC交AE延长线于点F，则便有ΔADB≌ΔCAF，从而找到问题解决的突破口．

证明：过点C作CF⊥AC交AE延长线于点F．

因为∠BAC=90°，AE⊥BD，

所以∠ADB=∠CAE，

因为∠BAD=∠ACF=90°，AB=AC，

所以ΔADB≌ΔCAF，

所以∠ADB=∠F，AD=CF，

因为AD=CD,

所以CD=CF，

因为∠DCE=∠FCE=45°，CE=CE，

所以ΔCDE≌ΔCFE,

所以∠CDE=∠F，

所以∠ADB=∠CDE．

（本题还有其他证法）