等腰直角三角形系列问题(2)

本问题做完了就知道，绝对是个好问题，好到什么程度呢？我猜测（应该是我确认），大连2018年25题，就是从她出来的，不信，你可以把这两个题，好好比对比对哈！

如上图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角边AC的中点为D，过点A作BD的垂线，分别与BD和BC交于点E、F。

求证：∠ADB=∠CDF。

分析1：

先看条件：直角边AC的中点为D

再看结论：∠ADB=∠CDF

也算一边一角构造全等三角形的准模式。

涉及到的三角形有：△ABD、△ADE、△CDF

如果把要说明的两个角放在△ADE、△CDF内去考虑，如图，过点C作CG⊥DF，就是很自然的选择。

这样的做法不可实现，是因为无论再找边和角，都很难找到，△ADE与△CDG就不太容易全等，感觉上不该放弃，而理智上你要是不放弃就是犯傻了。

如果把要说明的两个角放在△ABD、△CDF内去考虑，辅助线就是作∠BAD的平分线AG

虽然你不能马上说明△ADG≌△CDF，却可以先说明△ABG≌△CAF，从而得到AG=CF这样的一个桥梁，它架起说明前面两个三角形全等。

如果把要说明的两个角放在△ABD、△CDF内去考虑，还可以过点C作AC的垂线，而与DF的延长线相交于点G.

这个作法，也是和上面的一样，想先说明△ACF≌△CGF，再说明△ADB≌△CDG，中间桥梁是CG=AB=AC.可是，第一个全等就是几乎不可能，于是，也常常被我们放弃。

如上两个常常被人放弃的做法，希望能在你的手里，得到起死回生，我们期待你的到来哎！

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分析2：

在说明之前，我在这里插一个基本套路：

经过等腰直角三角形斜边的两个端点，作经过直角顶点一条直线的垂线，必有一组直角三角形全等。

不知道你看完了如上一段文字，是否理解了他们的意思？如果你的回答是：不，那么，我建议你最好依据这一段文字，画出相关图形，把它作为一道题，给证明了。然后，你可能就能看懂如下做法中，那么作辅助线的必要性了。

先看条件：AB=AC，∠BAC=90°

再看条件：AF⊥BD

你搞明白了上面那一段的套路，你就应该过点C去做AF的垂线，垂足为G，找到了一直角组三角形全等吗？对了，就是△ACG≌△ABE.

当然了，全等之后，还可以得到一些非常好的结论来，即便没有得到结论，也是一段非常有趣的说明，何况还是有可能是对的呢！

这种情况，我没画图，也留作业给大家了。

分析3：

也是一个套路：第三角。

简单说，这个套路，就是制造第三个角α，使得既∠ADB=α，又∠CDF=α，这样的过程，说起来简单，做起来难，具体有如下两个：

上图而言，延长FD、BA交于一点G，第三角就是∠ADG=α，不过吧，这个不单是做起来难，而是很难，难到什么程度呢？又是几乎要放弃，不过，大家还是要看看，最起码知道我们为什么要放弃啊！

如上图，过点C作AC的垂线，与AF的延长线交于点G，此时第三角是∠G=α。

这个做法，近似于我上面没画出图形那个，证明过程又与第二图（不算原题图形）很接近，请大家完成它吧！

如此看来，本问题最起码有三种可以实现的做法，请大家完成他们吧