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高等数学泰勒公式在秋求极限中的应用,你能看出来吗?

泰勒公式是求极限中非常重要的武器。

如题

可以说,临到走投无路时,拿起泰勒公式,问题就迎刃而解。

这个题,要想利用洛必达法则求解可以说非常繁琐,甚至几乎无法实现,

等价无穷小代换显然也不可能有操作空间,唯一能想到的可能就是泰勒公式了。

于是,将分子看做x的函数在0处使用泰勒公式展开

现在需要计算出0处的一阶导数,二阶导数,甚至更高阶的导数,

首先计算f'(0),

由此可知,分子至少是x^2的同阶无穷小

于是我们需要在计算f''(0)

不难发现,一阶导数有三个类似的项,每一项再求导数后,又会产生三项。如果把0带入,发现,有sin的项均变成了0.只有全部为cos的项被保留下来,

于是

于是,分子是x^2的同阶无穷小


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