函数是中学代数部分的重要内容，以函数为背景的几何动态探究题是历年中考必考内容 .
重点考查由运动产生的面积问题、特殊三角形、特殊四边形问题 ，同时渗透数形结合、分类讨论的数
学思想，难度较大 .
这类代数几何综合题有两个侧重：
一是侧重几何方面，利用几何图形的性质来进行探究；
二是侧重代数方面，重点考查运算能力 .
这是一类综合性很强的压轴题：在几何图形中，通过点、线段或者是几何图形的运动，
引发出运动时间与线段、运动时间与图形的面积或者是线段与线段、线段与图形之间的函数关系 .
这类问题的一般要求是：
确定两个变量之间的函数关系式，并要求写出自变量的取值范围，或者是求几何图形面积的最大（或最小）值 .
这类问题涉及的知识面广，解法灵活，不仅注重基础知识的考查，更注重对数学方法和应用能力的考查 .
本节主要来介绍下由运动产生的函数问题，并对此类问题相应的类型及题型归纳如下：
类型一：由线段之间关系产生的函数问题
【例题1】已知在 △ABC 中，AB = AC = 8 , BC = 4 , 点 P 是边 AC 上的一个动点，
∠APD = ∠ABC，AD∥BC，连接 DC .
（1）如图1，如果 DC∥AB，求 AP 的长；
（2）如图2，如果直线 DC 与边 BA 的延长线交于点 E，设 AP = x , AE = y ,
求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如图3，如图直线 DC 与边 BA 的反向延长线交于点 F，连接 BP，
当 △CPD 与 △CBF 相似时，试判断线段 BP 与线段 CF 的数量关系，并说明你的理由 .
【分析】
（1）先证明 △DPA∽△ABC，得出比例式 AP/BC = AD/AC , 即可求出 AP = 2；
（2）由（1）得出 AP/BC = AD/AC , AD = 2 AP , 再由 AD∥BC，得出 AD/BC = AE/EB ,
即可得出 y = 8x /（2 - x）；
（3）由 △CPD∽△CBF，得出 PD/BF = CP/BC ,
设 AP = x , BF = y , 则有 2x / y = （8 - x）/ 4 ①，
再由 AD∥BC，得出 BC/AD = BF/AF , 则有 4 / 2x = y / （y + 8）② ,
由 ①、② 解得 x , y 的值，得出 BP 是 △ACF 的中位线，即可得出结论：BP = 1/2 CF .
【解析】
（1）∵ AD∥BC，∴ ∠DAP = ∠ACB，
∵ ∠APD = ∠ABC，∴ △DPA∽△ABC，
∴ AP/BC = AD/AC ,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC = 4 ,
∵ AB = AC = 8 ,
∴ AP/4 = 4/8 ,
∴ AP = 2 ;
（2）由（1）得，AP/BC = AD/AC , 所以 AD = 2 AP .
∵ AD∥BC，
∴ AD/BC = AE/EB ,
∵ AP = x , AE = y ,
∴ AD = 2x , EB = y + 8 ,
∴ 2x / 4 = y / （y + 8）,
∴ y = 8x /（2 - x），它的定义域是 0 < x < 2 ;
（3）BP = 1/2 CF ;
∵ ∠APD = ∠ABC，
∴ ∠DPC = ∠FBC，
∴ ∠PCD > ∠F，又 △CPD 与 △CBF 相似，
∴ ∠PCD = ∠BCF，
∴ PD/BF = CP/BC .
∵ AB = AC ,
∴ ∠ABC = ∠ACB，
∵ ∠APD = ∠ABC , ∠DAP = ∠ACB，
∴ ∠DAP = APD ,
∴ AD = PD ,
设 AP = x , BF = y , 则 AD = PD = 2x , AF = y + 8 ,
∴ 2x / y = （8 - x）/ 4 ①，
∵ AD∥BC，
∴ BC/AD = BF/AF ,
∴ 4 / 2x = y / （y + 8）② ,
由 ①② 得：x = 4 , y = 8 ,
∴ AP = PC = 4 , AB = BF = 8 ,
∴ BP 是 △ACF 的中位线，
∴ BP = 1/2 CF .
【解题策略】此题中的核心元素 “点 E ” 的位置是由直线 AB 和 DC 相交而确定的，
而点 D 是由点 P 所决定的，因此本题需要从点 P 出发进行分类讨论 .
其次，要建立 AE 与 AP 之间的函数关系式，需要从线段的彼此关系入手进行分析，
本题中主要应用的是比例关系 .
在类似问题中，线段的和差、倍分、比例以及平方之间的关系都可作为建立函数关系的依据，
要注意灵活应用 .
类型二：由图形面积产生的函数问题
【例题2】如图，直线 y = -3/4 x + 6 分别与 x 轴，y 轴交于点 A , B 两点；
直线 y = 5/4 x 与 AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D .
点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动 .
过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB , OD 于 P , Q 两点，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN .
设正方形 PQMN 与 △ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单位），
点 E 的运动时间为 t（秒）.
（1）求点 C 的坐标；
（2）当 0 < t < 5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式 .
【分析】
（1）利用已知函数解析式，求两直线的交点，得点 C 的坐标即可；
（2）根据几何关系把 S 用 t 表示，注意当 MN 在 AD 上时，这一特殊情况，进而分类讨论得出 .
【解析】
（1）
∴ C（3,15/4）；
（2）
∵ 直线 y = -3/4 x + 6 分别与 x 轴，y 轴交于点 A , B 两点，
∴ y = 0 时，0 = -3/4 x + 6，解得 x = 8 ,
∴ A 点坐标为（8,0），
根据题意，得 AE = t , OE = 8 - t ,
∴ 点 Q 的纵坐标为 5/4（8 - t）, 点 P 的纵坐标为 -3/4（8 - t）+ 6 = 3/4 t ,
∴ PQ = 5/4（8 - t）- 3/4 t = 10 - 2 t ,
① 当 MN 在 AD 上时，10 - 2t = t , 所以 t = 10/3 ,
② 当 0 < t < 10/3 时，S = t（10 - 2t）, 即 S = -2t^2 + 10t ,
③ 当 10/3 < t < 5 时，S = （10 - 2t）^2 , 即 S = 4t^2 - 40t + 100 .
【解题策略】解决这类动态问题要 “以静制动”，即把动态问题转化为静态问题 .
在分析时，首先要明确给定条件中哪些量是变化的，哪些量是不变的，
然后用给定的自变量（本题中是运动时间）表示出所有能表示的线段，
在根据图形面积公式或面积关系建立有关面积的函数关系式 .
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