由抛物线上的点构成特殊四边形的问题，需要根据特殊四边形的性质与判定去确定点的坐标，然后求解 . 具体而言，解该类题时，我们要根据题目中的条件，科学地进行分类，然后画出图形，再根据这个四边形的性质或判定求出这点的坐标，若这一点是根据特殊四边形的特性得到的坐标，我们还应将这一点代入到抛物线的解析式中去验证是否是抛物线上的点 .
本节主要来讨论下特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形的存在性问题 .
类型一：平行四边形问题
【例题1】如图，抛物线 y = 1/2 x^2 + bx + c 经过点 A（-1,0）和点 B（3,0），
同时交 y 轴于点 C .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，且以 A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，
求满足条件的点 P 的坐标 .
【分析】
（1）根据抛物线经过 A , B 两点即可求得 b , c 的值，可解题；
（2）以 A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，则点 P 横坐标为 4 或 - 4，将 x = 4 或 - 4 代入抛物线解析式即可求得 y 的值，即可解题 .
【解析】
（1）把 A（-1,0），B（3,0）代入 y = 1/2 x^2 + bx + c 中，
∴ 抛物线的解析式是 y = 1/2 x^2 - x - 3/2 .
（2）
① 当 AB 为边时，只要 PQ∥AB 且 PQ = AB = 4 即可 .
又知点 Q 在 y 轴上，
∴ 点 P 的横坐标为 4 或 - 4 ，
这时符合条件的点 P 有两个，
分别记为 P1 , P2，
把 x = 4 代入 y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,
得 y = 5/2 ,
把 x = - 4 代入 y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,
得 y = 21/2 ,
此时 P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2）；
② 当 AB 为对角线时，只要线段 PQ 与线段 AB 互相平分即可 .
又知点 Q 在 y 轴上，且线段 AB 中点的横坐标为 1，
∴ 点 P 的横坐标为 2，这时符合条件的 P 只有一个记为 P3 ,
而且当 x = 2 时，y = - 3/2 ,
此时 P3（2，- 3/2），
综上，满足条件的 P 为 P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2），P3（2，-3/2）.
类型二：菱形问题
【例题2】 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y = -x + b 与坐标轴交于 C，D 两点，直线 AB 与坐标轴交于 A , B 两点，线段 OA , OC 的长是方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的两个根（OA > OC）.
（1）求点 A , C 的坐标；
（2）直线 AB 与直线 CD 交于点 E，若点 E 是线段 AB 的中点，
反比例函数 y = k/x （k ≠ 0 ）的图象的一个分支经过点 E，求 k 的值；
（3）在（2）的条件下，点 M 在直线 CD 上，坐标平面内是否存在点 N，
使以点 B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点 N 的坐标；
若不存在，请说明理由 .
【分析】
（1）利用分解因式法解一元二次方程 x^2 - 3x + 2 = 0 即可得出 OA , OC 的值，再根据点所在的位置即可得出 A , C 的坐标；
（2）根据点 C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 CD 的解析式，
根据点 A , B 的横坐标结合点 E 为线段 AB 的中点即可得出点 E 的横坐标，
将其代入直线 CD 的解析式中即可求出点 E 的坐标，再利用待定系数法即可求出 k 的值；
（3）假设存在，设点 M 的坐标为（m , - m + 1）, 分别以 BE 为边 、BE 为对角线来考虑 .
根据菱形的性质找出关于 m 的方程，解方程即可得出点 M 的坐标，
再结合点 B , E 的坐标即可得出点 N 的坐标 .
【解析】
（1）x^2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）= 0 ,
∴ x1 = 1 , x2 = 2 ,
∵ OA > OC ,
∴ OA = 2 , OC = 1 ,
∴ A（-2,0），C（1,0）；
（2）将 C（1,0）代入 y = - x + b 中，
得 0 = - 1 + b , 解得 b = 1 ,
∴ 直线 CD 的解析式为 y = - x + 1 .
∵ 点 E 为线段 AB 的中点， A（-2,0），B 的横坐标为 0 ，
∴ 点 E 的横坐标为 - 1 .
∵ 点 E 为直线 CD 上一点，
∴ E（-1,2）.
将点 E（-1,2）代入 y = k/x （k ≠ 0 ）中，
得 2 = k / -1 , 解得 k = -2 ;
（3）
假设存在，设点 M 的坐标为（m , - m + 1）,
以点 B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形分两种情况（如上图所示）
类型三：矩形问题
【例题3】
【解题策略】
这三道例题分别呈现了运动变化过程中的平行四边形、菱形、矩形的存在性问题，
三道例题的思路都是要依据特殊四边形的性质构图并建立方程求点的坐标 .
特别地，由于菱形任意三个顶点组成的三角形都是等腰三角形，
因此可将菱形问题转化为等腰三角形的存在性问题；
而矩形问题则可转化为直角三角形的问题，要注意体会相关知识之间的联系 .
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