“存在性问题”一直都是中考高频考点，仅2019年，就有40个以上的省市地区在考查，而且都是作为拉分的压轴题出现。这类问题属于”动点问题“的一个分支，要求在点运动过程中，找到一个瞬间可以构成特殊图形或特殊关系。除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．
回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：
（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；
（3）等腰三角形：等边对等角；
（4）全等（相似）三角形：对应角相等；
（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；
（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的，以下给出一些中考题中的不同方法构造相等角问题．
方法1 根据三角函数值构造相等角
例1.（2019·德州中考题）如图，抛物线y＝mx2﹣5/2mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝11/2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥9/2时，均有y1≤y2，求a的取值范围；
（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．
例2.（2017·来宾中考题）如图，已知抛物线过点A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图甲中，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点M的坐标；
（3）在图乙中，点C和点C1关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且∠PAB＝∠CAC1，求点P的横坐标．
方法2 作平行线构造相等角
例3.（2019·海南中考题）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解y＝x2+6x+5，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C（﹣1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1，
例4.（2018·娄底中考题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF＝∠DBE时，求点F的坐标．
【解析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标为（1，4）；
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．∵﹣1＜0，∴当x＝2时，S△BDF取最大值，最大值为1；
方法3, 构造等腰或全等
例5.（2019·泰安中考题）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式为y＝2/3x2﹣4/3x﹣2．
（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝1/2AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标为（4，10/3）．
(3)
例6.（2018·玉林中考题）如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．
（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；
（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．
【解析】（1）代入y＝c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣1/2（m﹣3）2+5，∵﹣1/2＜0，0≤m≤4，∴当m＝0时，S取最小值，最小值为1/2；当m＝3时，S取最大值，最大值为5；
方法4 构造辅助圆利用圆周角定理获得相等角
例7.（2019·赤峰中考题）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，即可求解EC+ED的最小值为5√2；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
例8.（2018·日照中考题）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．
在近年中考中，考查特殊图形关系或特殊角度关系的题目，绝大部分都可以通过相似三角形来解决。
虽然也有少部分题可以用其他方法解决，但仔细研究后，你就会发现，其实解决这类问题的基本原理大多都是将“角度关系”转化为“长度关系”。
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