中考数学“一线三等角”模型解析

一、“一线三等角” 模型定义

两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形 .

二、“一线三等角” 模型类型

（1）点 P 在线段 AB 上，则有 △ACP∽△BPD .

①锐角一线三等角

锐角一线三等角模型

②直角一线三等角

直角一线三等角模型

③钝角一线三等角

钝角一线三等角模型

（2）点 P 在线段 AB 的延长线上，则有 △ACP∽△BPD .

①锐角一线三等角

锐角一线三等角模型

②直角一线三等角

直角一线三等角模型

③钝角一线三等角

钝角一线三等角模型

三、“一线三等角” 模型常出现的题型

1、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；

2、等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；

3、矩形（正方形）；

4、矩形和正方形的翻折（简称：一线三直角）；

5、等边三角形的翻折；

6、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题 .

四、典例解析

（一）一线三等角模型 —— 等腰三角形

【例题1】如图，已知：在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4 , 点 M 是边 AB 的中点，

点 E 、G 分别是边 AC 、BC 上的一点，∠EMG = 45°，AC 与 MG 的延长线相交于点 F，

（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；

（2）连接 EG，当 AE = 3 时，求 EG 的长 .

解析：

（1）△AEM∽△BMG（一线三等角型）；△FEM∽△FMA（共角共边型）.

（2）AE = 3 , CE = 1 ,

由 △AEM∽△BMG 可计算出 BG = 8/3 ， 则 CG = 4/3 .

在 Rt△CEG 中，由勾股定理可得 EG = 5/3 .

另解：

点 M 是 AB 的中点，恰好是 “中点型一线三等角”，

则有 △AEM∽△BMG∽△MEG .

对可解 △AEM 由余弦定理可计算出 ME = √5 ，

由 △AEM∽△MEG，可得 AE/ME = ME/EG ,

即 3/√5 = √5/EG ,

解得 EG = 5/3 .

（二）一线三等角模型 —— 等腰梯形

【例题2】已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD < BC，且 AD = 5 , AB = DC = 2 .

（1） 如图，点 P 为 AD 上的一点，且满足 ∠BPC = ∠A .

①求证：△ABP∽△DPC；

②求 AP 的长 .

（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A 、D 不重合），且满足 ∠BPE = ∠A ，

PE 交直线 BC 于点 E , 同时交直线 DC 于点 Q ，那么

①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP = x , CQ = y , 求 y 关于 x 的函数解析式，

并写出函数的定义域；

②当 CE = 1 时，写出 AP 的长 .

解析：

（1）

①由等腰梯形同一底上两个底角相等 + 三角形内角和及平角（∠APD）等于 180°，

可证 △ABP∽△DPC .

② ∵ △ABP∽△DPC ，

∴ AP/DC = AB/PD ,

∴ AP/2 = 2/（5 - AP），

解得 AP = 1 或 AP = 4 .

（2）

①建立 y 关于 x 的函数解析式，AP = x , DP = 5 - x , CQ = y , 则 DQ = 2 = y ,

易证：△ABP∽△DPQ，

∴ AB/PD = AP/DQ ,

即 2/（5 - x）= x/（2 + y）,

∴ y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 ,

定义域：

由于点 Q 在线段 DC 的延长线上，故 DQ > 2 , 即 y + 2 > 2 ,

∴ y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 > 0 , 即 1 < x < 4 .

②分类讨论点 E 的位置如下：

1、当点 E 在线段 BC 上时，CE = 1 , 过 C 点作 PQ 的平行线交 AD 于点 H ，

由 △ABP∽△DHC，

∴ AB/DH = AP/DC ,

∴ 2/（5 - 1 - x）= x/2 ,

解得 x = 2 .

2、当点 E 在线段 BC 的延长线上时，CE = 1 , 过点 E 作 CD 的平行线交 AD 的延长线于点 M ，

由 △ABP∽△MPE，

∴ AB/MP = AP/ME ,

∴ 2/（5 + 1 - x）= x/2 ,

解得 x1 = 3 - √5 , x2 = 3 + √5 > 5 （舍去）.

五、小结

1、此次课程展示了相似模型 “一线三等角型” 在初中数学范围内常见的两种考题形式；

2、从压轴题中的复杂图形提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展提高，

通过知识间的串联，找出一些通性通法，来提高解题效率 .