例题1
(2018·宜兴期末)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,现将纸片折叠,点D的对应点记为点P,折痕为EF,再将纸片还原,若点P落在矩形的内部,且点E、F分别在AD、DC边上,则AP的最小值为___________.
【分析】
在本题中,存在E、F两个动点,两个动点一起运动时,研究问题相对较麻烦,所以常常先固定一个动点,然后在该点固定的背景下来研究另外一个动点,依次达到“减小思维量、简化问题”的功能!
比如本题,可先固定点E不动,让点F先动,于是可知,点P的轨迹在以点E为圆心,ED为半径的圆上运动,发现随着点F越靠近点C,AP越小,所以可知,当点F运动到与点C重合时,AP最小
当点F与点C重合时,本题就变得“常规了”,此时点P在以C(F)为圆心,CD(即4)为半径的圆上运动,所以当A、P、C共线时,AP最小,此时AP=5-4=1.
初二阶段的同学,可以从三角形三边关系去分析,也可以作图操作探究出点F在点C位置时点P靠点A最近.
例题2
(2014·无锡中考)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是 .
【分析】
本题更厉害,直接三个动点,以前我经常听到一些老师讲解本题,可以说是“照着答案强说过程”,问为什么?总是回答的不尽如人意
这题虽然动点较多,但是仍然可延续上面一题的思想,“先固定,后放开”
本题我们先固定点P,那么当点P固定时,PE+PF的最小值自然是PE、PF同时取得最小时的情况,此时PF的最小值为PB-BF,PE的最小值为PA-AE,所以PE+PF的最小值为PB+PA-3
此时,点E、F两个动点转化到A、B两个定点上去了,问题就变为了求“PA+PB”将军饮马问题,接下去请大家自行解答!
“让动点先不要动”,主要出现在多重动态问题当中,体现出的是一种解题思维,即对问题逐步分析,逐步解决,然后各个击破!
这种思想在生活与学习当中也可运用!
当上学时在学校由于所学科目太多,作业太多,来不及处理学习中的问题时,可以让一些问题先安静点,先解决掉重要的、紧急的问题动起来,然后再去解决次要问题!
当工作时遇见一大堆事无法处理的时候,先抛开一些问题,先去解决重要的、较紧急的事,解决后再去解决次要的问题!
人脑CPU就那么点处理量,如果顾忌的东西越多,那么往往只会得不偿失
例题3
【解析】
本题我们发现有两个运动状态
①旋转运动:△ABC绕着点B旋转;
②点P在线段AC上运动,旋转后的对应点为P’
逐步分析,以静制动,我们先让点P安静点不要乱动!
然后可知在△ABC旋转的过程中,点P的轨迹是以B为圆心,BP长为半径的一个圆(如图1)
我们发现,本类双重运动求最值问题,基本是都是最大情况下再取最大;最小情况下再去最小.
去年,无锡地区也考了一道类似的题,大家可自行解决一下
例题4
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