趣味几何 | 三角形面积问题——从“小”入手

在学习了三角形中线后，有类常考的题型——面积问题，但是这类面积问题往往不能直接用面积公式计算，而需要分析相关区域面积的比例关系来求解。

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知识基础

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例题解析

【例题1】如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为多少？

要解这个题，不能直接用三角形面积公式计算出结果，因为所求三角形的边长和高都算不出来。

这里提供两种解题思路。

【方法一】

有些同学在小学学过奥数，可以用“燕尾模型”。回顾一下：

燕尾定理: 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有

现在来解决问题：

如图，连接OC

由“燕尾定理”可得：

要熟练运用这个模型解题，需要对模型非常了解，而且还需要准确判断出那些区域的比例关系。这里重点介绍的不是这个定理，是为了讲下面这种方法，方法思路比较简单，主要就是准确计算的问题。

【方法二：从“小”入手】

如图，连接OC

第一步：

找！

先观察图形，找到一个看起来面积最小的三角形，比如假设三角形AON的面积最小；

第二步：

设！！

设

；

第三步：

表示！！！

用x把其他的三角形面积都表示出来；

根据题中给我比例关系，可以得到

这里是单纯的根据面积和底的比例关系来求解的，计算过程稍微复杂。本题也可以把燕尾模型和这个方法结合，灵活处理，计算量会大大降低，自己思考试一试吧。

这种方法是很万能的，来看一些稍微难点的面积问题。

【例题2】如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B′，C′，A′，且使BB′＝AB，CC′＝2BC，AA′＝3AC．若S△BB’C’＝1，那么S△A'B'C'是多少？

【例题3】重庆八中初2020级九上周考13

这种解题方法最大优点就是思路简单，从最小的三角形入手，设最小三角形的面积，可以设未知数，也可以设”1“份，然后求出其他三角形的的面积，再根绝题目具体条件求解。

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配套练习

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