反比例函数图象的对称轴与常数k的求法——这道中考题值得研究

2020中考数学贴心辅导每日一题（27）

2019年福建中考数学第16题

如图，菱形ABCD的顶点A在函数

的图象关于直线AC对称，且过B，D两点．若AB＝2，∠BAD＝30º，则k＝_____．

分析

首先，我们知道，反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线．

其次，我们还知道，反比例函数的图象关于直线y=x对称，又关于直线y=-x对称（详见人教版九下教科书第11页）．

进一步，我们还应该知道，函数y=k/x（k＞0，x＞0）的图象只关于直线y=x对称，而直线y=x与x轴正半轴成45º角．

解

如答图，

∵反比例函数的图象关于直线y＝x对称，

∴直线AC与直线y＝x重合．

∵点A在直线AC（即直线y=x）上，设其坐标为（m，m）．

过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥BE于点F．

依菱形的性质，得∠CAB＝15º．

评析

菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是对称轴．

∵∠COE＝45º，AF∥x轴，

∴∠CAF＝45º．

∴∠BAF＝30º．

评析

这是最关键的一步．请结合下面的解题过程，认真感受在平面直角坐标系中添加辅助线的最基本的思想方法．

在Rt△ABF中，

∵AB＝2，

评析

进一步感受如何求出相应的线段长以确定点的坐标．

评析

反比例函数与正比函数一样，都只有一个常数（待定系数k），所以，只要求得双曲线上任意一点的坐标，都可以求出k的值．