01、模型呈现
如图1和图2,在△ABC和△CDE中,点C是直线BD上的点.若∠ACE=∠ABD=∠EDF,则△ABC∽△CDE.特别地,当AC=CE时,△ABC≌ △CDE.
上述两个图呈现的是两种最典型的“一线三等角”模型,即同侧型和异侧型,两者所求证的结论均可通过导角证明.该模型最本质的特点为: 有3个等角的顶点在同一条直线上,且这个角可以是锐角、直角或钝角.而随着角顶点位置的适当改变或角绕顶点旋转一定角度,常会产生许多和谐美观的图形,且结论仍然成立.正因如此,近年来各地命题专家们命制了许多可用“一线三等角”模型求解的中考试题,这些试题大都突出对学生能力与思维的考查,重视数学经验与思想方法的获得,常常具有较高的区分度.
02、试题赏析
类型1:三角齐见,模型自现
例1:如图3,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使 点B落在AD上,记为B',折痕为CE;再将CD边斜向下对折,使点 D落在B'C上,记为D',折痕为CG,若B'D'=2,BE=1/3BC,则矩形纸片ABCD的面积为________.
图3
分析:因为∠A=∠EB'C=∠D=90°,且点A,B',D在同一直线上,由“一线三等角”模型,得△AEB'∽△DB'C,则
类型1:三角齐见,模型自现
例2:将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图4所示放置,点D在AB边上,△DEF绕点D旋转,腰DF和底边DE分别交△CAB 的两腰CA,CB于点M,N.若CA=5,AB=6,AD∶AB=1∶3,则MD+12/MA·DN的最小值为________.
图4
分析:由于∠A=∠MDN=∠B,且点A,D,B在同一直线上,因此根据“一线三等角”模型可得△MAD∽△DBN,则
评注
以上两例都是典型的“一线三等角”试题,由于模型的框架已搭建,因此降低了试题的起点.两道题虽涉及不同的图形变换,但解法本质一致,均为利用模型构建比例式解决问题.两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想.
类型2:隐藏局部,小修小补
例3:如图5,在正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME 交AD延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE长为
图5
分析:如图6,由于∠B=∠AME=90°,因此延长BC,过点E作BC 延长线的垂线,两者交于点N.根据“一线三等角”模型,可得△ABM∽△MNE,则
而AB=EN=12,BM=5,则MN=144/5,故DE=CN=MN-MC=MN-(BC-BM)=109/5.
图6
类型2:隐藏局部,小修小补
例4:如图7,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m分别交x轴、y轴于点A,B,已知点C(2,0).
1)当直线AB经过点C时,点O到直线AB的距离是;
2)设点P为线段OB的中点,联结PA,PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值是________.
图7
分析:1)√2;
2)如图8,因为∠ABO=∠APC=45°,在y轴的负半轴上找一点D,使得∠CDO=45°,则△ABP与△PDC构成“一线三等角”模型,所以△ABP∽△PDC,从而AB/PD=BP/DC,易知m>0,AB=√2m,BP=m/2,PD=m/2+2,CD=2√2,于是
解得m=12.
图8
评注
上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景,但图形的共性较明显:均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏,而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想,发现其中最本质的特征,挖掘蕴含在图中的几何模型.两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查,提升了学生思维的层次性和灵活性.
类型3:一角独处,两侧添补
例5:如图9,一块30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数y1=k1/x(其中x>0)的图像上,顶点B在函数y2=k2/x(其中x>0)的图像上,∠ABO=30°,则k1/k2=_______.
图9
分析:如图10,由于∠AOB=90°,因此过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D.由“一线三等角”模型可得△ACO∽△ODB,则
图10
事实上,该题亦可利用异侧型“一线三等角”(如图9,设AB交x轴于点E,则△AOE∽△OBE)求解,由于与上面的解法类似,这里不再赘述.
类型3:一角独处,两侧添补
例6:如图11,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E为CD上一点,且∠BAE=45°.若CD=4,则△ABE的面积为
图11
分析:如图12,由于∠BAE=45°,因此过点A作AD的垂线,在该垂线上分别找点M,N(其中点N在点A下方),使得∠BMA=∠ENA=45°.过点E作MN的垂线,垂足为点F,延长CB交MN于点G.
图12
易知四边形ADCG为正方形,则AG=CG=CD=4;而AB=BC+AD,不难推知AB=5,BG=3,BC=1.由于∠BAE=∠M=∠N=45°,根据“一线三等角”模型可得△ABM∽△EAN,则
评注
上述两道题虽呈现的背景不同,但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中.题中的“特殊角”是解题的关键,也是搭建模型框架的基础,更是学生解题思路的来源与“脚手架”.两道题实质上是考查学生利用模型进行数学思考的能力,同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况.
类型4:线角齐藏,经验来帮
例7:如图13,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=k/x的图像上.作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图像于点C,则点C的坐标为_______.
图13
分析:如图14,过点C作AC的垂线,交射线AB于点D,过点C作x轴的平行线,在该平行线上分别找点E,F,使得∠DEC=∠AFC= 90°.
图14
由“一线三等角”模型及∠DAC=45°,得△DEC≌△CFA.又点A,B坐标分别为(2,3),(0,2),从而k=6,于是
类型4:线角齐藏,经验来帮
例8:如图15,有一个边长不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上,另外两个顶点B,D在正六边形内部(包括边界),则正方形边长a取值范围是________.
图15
分析:由于点A,C分别在正六边形一组平行的对边上,从而 ACmin=√3,于是正方形ABCD的边长amin=√6/2.根据正方形和正六边形的中心对称性,要使正方形边长a最长,则正方形的对称中心和正六边形的对称中心O互相重合.
图16
如图16,联结OA,OB,过点A,B作GH的垂线,垂足分别为点E,F,直线BF分别交GP,GQ于点M,N.易知∠BFO=∠AOB=∠AEO=90°,根据“一线三等角”模型及OA=OB,可得△AOE≌△OBF,从而AE=OF=√3/2,说明点B在定直线MN上运动,当点B运动到点M或N时,正方形ABCD的边长a最长.
图17
如图17,当点B与点M重合时,由GF=1-√3/2,知
评注
上述两道题实质上都以图形的旋转为问题的切入点,能较好地激发学生探索的意愿,促使学生在模拟图形运动的同时,自发地利用题中所蕴含的特殊角,展开适当的联想,寻找图形间的联系,利用数学解题经验,搭建模型框架.两道题都意在寻求突破,体现分层考查,有着较好的考试信度与效度.
通过上述的例3~例8,不难发现:对于有些中考试题,“一线三等角”并非直观、完整地呈现,而是在原图中隐藏了局部或全部结构,因此思维层次随之提升.若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角,通过“找角,定线,搭框架”,让模型“现出原形”,则解题思路便会油然而生,豁然开朗.
03、教学启示
在近几年的各地中考试卷中,逐渐涌现出由同一类基本模型延伸而来的试题,这些试题虽呈现的背景不尽相同,但解决问题的方法和思想相通,这就要求教师在平时的解题教学中,充分挖掘习题的内在价值,鼓励学生对问题进行深入研究,引导并总结出一般化的方法,同时要让学生尝试利用在解题过程中所积累的经验,对试题中所蕴藏的基本模型进行挖掘与提炼.只有让学生学会自主地反思、推进、提炼,才能做到“掌握模型,举一反三,通一类题”,同时通过对一些基本模型和结论的挖掘,能更好地弄清问题的本质,为解决问题搭建好思维的“脚手架”,进而切实有效地提升学生的解题能力,发展学生的思维水平.当基本模型经过提炼并熟练应用后,教师应引导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究,通过让学生在拓展基本模型的过程中,感悟模型的本质,从而做到化题为型、串题成链、结题成网,真正实现思维品质的提升.
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