巧用“中点策略”,找准“生长点”----对一等腰三角形背景下线段相等证明11种方法的解析
一、原题呈现
二、原题解读:
本题背景是等腰三角形,相信对于杭州的初中数学老师来说并不陌生,等腰三角形是一个经典的对称图形,教研员对这类题也是情有独钟!
本题条件:
一个等腰三角形----还可以延伸出2个
二个垂直-----(三线合一+母子图)
三个中点
四个线段相等
五个直角三角形
本题条件分析我们可知,突破中点,找准生长点是解决问题的关健!“中点”是初中数学中一个重要知识点。当特殊三角形遇到中点就可以擦出火花。如:
1、等腰三角形遇到中点-----三线合一
2、直角三角形遇到中点-----斜中线定理
同时我们还知道:
3、中点与中点----中位线定理
4、倍长中线法
三、解法探析
(以下部分解法为纯手工书写版)
生长点一、由直角+中点,倍长中线法----构造斜中线定理
解法1、由杭州陈汉老师提供
解法2、由温州谢有胜老师提供
三点共线
解法3、由广州甘清老师提供
全等证明
生长点二、由中位线定理和斜中线定理及平行四边形知识实现线段转化,本题中取BD的中点就是巧妙的运用了斜中线定理去转化突破
解法4、由石家庄武丽哲老师提供
解法5、(由湖州罗兵老师提供)
反思:通过全等和平行四边形的性质通过导线完成
生长点三:运用平行四边形和中垂线性质定理去实现线段转化
解法6、(由杭州顾夏平,台州张文辉老师提供)
生长点四:目标:GA=GD=GC=GF制造四点共圆
解法7、由绵阳王政孟,绍兴张一弛,徐州周永红提供
反思:运用三角形相似实现导角转化
解法8、由台州张文辉老师提供
生长点五、由对称思想及图形的确定性建立直角坐标系,最后由解析法完成,正如汤先汉老师说的那样,这几天的题目都用到了解析法,真是“万金油”啊!
解法9、由长春牛占田老师提供
解法10、由长春牛占田老师提供
解法11、由焦作倪斌老师提供(供读者自己完成)
四、归纳延伸:
一题一世界,一问一天地,一道小小的数学题就是一个数学知识,数学方法,数学思想的新天地。
本题中各位老师也是广开思路,各显神通,分别抓住了题中关键生长点:中点,直角,等腰等要素与模型展开联想,生成,延伸,给我们较大的启发!
启发1、关键点生长就是题目主要的突破口,抓关键点是解决问题的首选,本题中大部分解法都从中点G出发突破
启发2、抓对称,建直角坐标系是“万金油”
模型延伸:
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