韦达定理在函数交点中的妙用

例：1.如图，直线y=−√3/3.x+b(b>0)，与y轴交与点A，与双曲线y=k/x(x>0)交与B，C两点，且AB.AC=4，求k的值

分析：BE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F

∵y=−√3/3.x+b

易求：∠ADO=30°

∴∠ABE=∠ACF=∠ADO=30°

设：B(x₁，k/x₁)，C(x₂，k/x₂)

∴BE=x₁，CF=x₂

两函数联立得：k/x=−√3/3.x+b

∴−√3/3.x²+bx−k=0

由韦达定理得：x₁.x₂=√3k，

即：BE.CF=√3k①

又∠ABE=∠ACF=30°

∴AB=2√3/3.BE，AC=2√3/3.CF②

AB.AC=4

∴2√3/3.BE×2√3/3.CF=4③

∴k=√3。

例：2.如图，直线y=−x+b(b>0)，与双曲线y=k/x(x>0)交与A，B两点，连接OA，OB，AM⊥y轴，BN⊥x轴，求证：△AOM≌△BON

分析：设：A（x₁，k/x₁），B（x₂，−x₂+b）

∴AM=x₁，BN=−x₂+b，

两函数联立得：−x+b=k/x，

∴x²－bx+k=0

∴由韦达定理得：x₁+x₂=b，

∴x₁=−x₂+b

∴AM=BN

∵S△AOM=S△BON=k/2（k>0）

∴OM=ON

易证：△AOM≌△BON(SAS)