数列求和的放缩方法

有的数列无法通过常规途径求和，在证明这类数列的和式与不等式结合问题时困难较大.

比如下面这道.

为有利于求和，我们常常需要对数列的通项进行放大或者缩小，使得放缩之后的数列能够用常规方法进行求和.

一、放缩的方向

放缩的方向包含两层意思：

1.放缩成什么形式？

2.放大呢还是缩小呢？

第2个问题容易回答，看题目要求即可.

第1个问题这样回答：高中阶段，数列放缩主要有两个方向.

1.朝等比数列去放缩，即把数列放缩为等比数列.

看这样一个栗子.

从解答过程能够看出，本题需要放大，原数列无法求和，放大之后为等比数列，顺利实现求和.

2.朝裂项相消去放缩，即把数列放缩为能够采用裂项相消法求和的形式.

看这个栗子.

数列无法求和，需要放缩，而且需要放大.

注意：为保证n-1有意义，n从2开始取值.

二、放缩的度

把数列放大或者缩小，是为了有利于求和，有利于靠近所证的结论.

拿简单的问题打比方.假设你要证明2<><>

但是，如果你直接把2放大到π（圆周率，约为3.1415926，是无限不循环小数），然后，就没有然后了...

因为我们放的过大，度没有把握好.

回到最初的例题，体会放缩的“度”.

先分析通项，貌似能够朝裂项相消去放缩.

从上式结论看出，我们没有达到题目的要求，放的过大了.

为此，我们需要重新放大一次，这一次要往回收一些.

控制“度”还有一个笨办法，就是保留前面几项，然后再对后面的项进行放缩.

比如还是这一道题，你采用的是第一种裂项相消的方法，有没有方法补救呢？

我们把第1项保留，不参与放大，从第2项开始放大.

达到要求了吗？

因为5/18 > 1/4，说明依然放的过大.

我们保留前2项，从第3项开始放大.

达到要求了吗？

因为113/450 > 1/4，说明放的依然过大.但是越来越靠近了.

我们保留前3项，从第4项开始放缩.

达到要求了吗？

经过仔细运算，37499/154350 <>

小结：

1.根据不等式符号决定放大还是放小；

2.常用的放缩方向：朝等比放缩和朝裂项相消法放缩；

3.放缩“度”的调节方法：不同形式放缩和保留项放缩.