很难想象古人是如何认识数的。对于现在的我们来说，一个苹果、一块石头、一条河……不管是一个什么，我们发现他们有共同的东西，于是抽象出1，1=1，等号表示数量上相等；同时也产生了一些基本运算：加减乘除。后来，人们发现线段的长度也是可以度量的，也可以用分数表示，于是出现了有理数和数轴，再后来又发现了无理数，产生实数的概念，人们自然的就接受数轴上的每个点对应一个实数（即线段的长度），小学课本也是这么教的，这便是数（量）—形模型。
图一 数字起源
然而抽象出的点无大小，线无宽度，面无厚度；点又如何组成线，有限的点无论多少也不成线，于是只能借助无穷，无穷就是没有尽头，数不过来，既然数不过来，只好不了了之。后来有人说，无穷大是有阶的，比如实数比整数“多”，平面上的曲线数比直线上点“多”，不过信服力不够，也有逻辑缺陷，大家不大认同；而且，借助无穷似乎也不影响认识和计算。直到微积分的出现。
图二 直线是怎样炼成的
近代科学的理论化离不开数学，离不开微积分。然而微积分中最基本的等式dy/dx=f(x)却是0/0.人们应该是很失望的，无中生有啊！你若说0/0是有意义的，它就表示导数，人们总不大愿意接受，而且引发大量不解。后来极限论出世，把0/0给遮住了。然而极限就涉及无穷，说到无穷，既然没有尽头，也没有办法，你说怎样就怎样吧，似乎不错
图三 《数学手稿》
可是认识无极限，人们对真理的追求是不可阻挡的。微分dx到底是什么（总不是有限量△x吧，既是有限量还微什么分啊！），无穷大（小）又是什么，为什么积分可看作精确值，为什么列微分方程是省略高阶无穷小还能解出精确解？微积分（dx）好似不是我们熟知的任何数学（量）形式，那么，让我们回归到古人对数的认识，向古人学习如何认识一个新的数量吧！
图四 古人的创造
当我们说1个苹果=1个苹果的时候，并不计较苹果的大小，我们只关心数量关系。那么，能不能说1.1个苹果呢？1.1个苹果是否等于1.1个苹果呢？似乎不合常理了。因为0.1已经不仅仅是数量上的，还包括它的本质，我们可以说1片苹果=1片苹果。而线段可以说1.1m=1.1m，线段由点构成，那么，1.1m+1/2个点的长度等不等于1.1m+1/2个点呢？（这里涉及一个观念，世界是无限可分的，能分的点才能构成线段。）也不能划等号，因为我们已经把线段的基本单元都分开了！（物理上的原子早就分了，连原子核都分了，而点现在才分！）点之下是什么？我们还不知道。我们说在数轴上，一个点的长度是0，它代表一个确切的数，就好比0.1个苹果相对于1个苹果是0（手里一个苹果片，问有几个苹果？），但它不是什么也没有的0，它有它自身的性质。在苹果片的层次上，它就是1片（当然这个数量取决于你切成的片数，切成两片就是2，但总之它是有限量，若切到淀粉它就不叫苹果了！）由此，我们引出表达界的概念，所谓同表达界，就是两个量有共同的质，并且量的差距不超过质变所需要的量。（量变的积累必然引起质变，我们将这个临界量成为超级巨大量，记为∞，它是一个静态量，是一个阈值。）0.1个苹果和1个苹果是不在同一个表达界的；1.1m的线段和1.1m+1/2个点的长度也不在同一个表达界。回过头来，我们发现，∞与dx正好相反，dx正是超级巨小量，它也是一个阈值，与∞一一对应。
图五 物之极
由此，我们的数域继续扩充并有了质的飞跃，数轴上每一个点都不在仅仅代表一个孤立的数，它有它的扩张性，其量的大小表现在下一个表达界；点也不再孤立，它有大小有度量，量的大小在下一个表达界。由此，连续的概念便自然而然，若任何相邻的点都在对方中有扩张（亦即两点“距离”为dx），我们就说它连续。研究dx和∞，我们发现，它们都是旧质到新质的过渡，都是中介量，dx是“物之生”，∞是“物之极”，dx是无中的有，∞是有中的无，它们在本质上是一致的，不过代表事物的两极（两仪）。
图六 两仪
如果用这样的实数系统来构建微积分，会怎么样呢？不妨一起来设想吧。
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