欧洲自然数平方倒数和是17世纪下半叶的著名的数学难题,它困扰着欧洲当时许多一流的数学家,这时的欧拉横空出世,凭借着高超的数学技巧,出人意料的解决了这个难题,从此登上了一流数学家的舞台。解决自然数倒数和是欧拉最早的成名之作。本篇就来讨论这个历史性的难题
下图中的几位欧洲数学大家都曾深入研究过这个问题,但都无果而终,我们来看看轰动一时的欧拉是如何解决这个问题的
首先我们要借用前一篇《有关π的无穷的数学魅力和它的妙用》中欧拉推导出的sinX麦克劳林级数形式和用根写出的无穷多项式形式。
聪明伙伴也许已经猜到欧拉的思路,就是展开根的无穷多项式和它的麦克劳林级数相对应,没错,是这样的。但如何展开这个看上相当繁琐的多项式呢?我们一步步来,首先第一项和二项相乘得到黄色部分
接着,我们将上式的第一项和第二项相乘,合并同类项,这个凭我们的初中知识就可以得出来
继续重复前面的步骤,合并同类型,我们重点关注下x^3的系数,马上要刷新你的三观了,因为它与自然数平方倒数和的形式最接近
我们就这样一直做下去,你猜绿色部分最后的形式会变成什么样式,
没错,x^3最后的形式是这样的,尽情的回忆一下上面说的,这个x^3的多项式须等于sinX麦克劳林级数中x^3的项
这是不是与我们的目标越来越近了,我们继续
两边乘以-1,在乘以π^2得到,就得到真正的自然数平方倒数和的形式,是不是很神奇
欧拉的证明是伟大的,别具一格的数学技巧往往能出奇制胜,得到你意想不到的结果。
凭着好奇心,拿起手中的笔算一算,我们看看x^5项会得到什么,出人意料的得到自然数4次方倒数和。
能得到这样的结果非常了不起,这一连串的数学规律和连锁反应都是有自然数平方和的倒数引起的,从此也刷新了我们对数学的认知。
联系客服