【数学】处理和（差）角范围问题的几点做法

理科

在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，本文举例说明这类问题的处理方法。

一. 合理选用公式来确定

例1 已知α，β均为锐角， sinα=

，求α+β的值。

解析：由已知条件有

cosα=

，且0＜α+β＜π。

又cos(α+β)

=cosαcosβ-sinαsinβ

若本题选择正弦的和角公式，会因为一、二象限角的正弦值均为正，而得出两个结果

，导致解题失误，这就需要注意公式的合理选用，若将本例改为：设α是锐角，

，且

，求α+β的值，则选用正弦和角公式合理。

另外，四个象限角的正切值正负相间，故本例亦可选用正切和角公式。

 

二. 借用其他三角函数来确定

合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。

例2 已知

，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-β所在象限。

解析：由条件α，β都是第二象限角，则有

因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。

由cos(2α+β)

=cos2αcosβ－sin2αsinβ

知2α+β在一、四象限。

又sin(2α+β)

=sin2αcosβ+cos2αsinβ

知2α+β在一、二象限。

综上知2α+β在第一象限。

同理可确定2α-β在第三象限。

 

三. 挖掘隐含条件来确定

例3 已知cos(α－β)= 

都是锐角，求cos(α+β)的值。

解析：由已知条件有

因为0＜sin2α=

，

所以0＜2α＜

，

所以0＜α＜

。 ①

又因为0＜β＜

，

所以

＜-β＜0 。 ②

由①、②得

＜α-β＜

。

又因为cos（α-β）=

，

所以

。

               =

。

从而cos(α+β)

=cos[2α-(α-β)]

=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

本例通过0＜sin2α= 

，发现了隐含条件：0＜α＜

，将α-β的范围缩小为

，进而由cos(α-β)= 

,将α-β的范围确定为

，从而避免了增解。

例4 已知

，且tanα,tnaβ是一元二次方程

的两个根，求α+β的值。

解析：由已知条件得tanα+tanβ= 

，

tanαtanβ=4＞0，

所以tnaα＜0，tanβ＜0。

又因为

，

所以

所以-π＜α+β＜0。

又因为tan(α+β)= 

=

所以α+β= 

。

本例根据韦达定理tanα+tanβ= 

，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知

，

，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。

总之，在处理两角和（差）范围问题时，要注意对题目条件加以研究，特别对隐含条件的挖掘，合理选用公式灵活处理。另外涉及多角和（差）的问题，亦可依照上面做法处理。