1. 导论
2. 正态分布
3A. 波动率（上篇）
3B. 波动率（下篇）
4. 期权平价公式
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5A. Delta(I): Delta定义与到期期限的动态影响
接下来为
5B. Delta(I):
5C. Delta(I)：
6. 期权定价
7. Delta(II)
……
5. 希腊字母Delta
Delta(，或大写) 定义为期权价格变动与标的资产价格变动的比率, 为期权价格关于标的资产（期货）价格的一阶偏导数:其中为标准正态(累积)分布函数,表示特定公式(计算的数值).对买入看涨(long call)期权而言, 当期货价格上行时, 人们期望其价值增加. 与期货价格一美元的变动相对应的期权价值变动被称为delta. 看涨期权的delta为正值. 那么, 很显然, 对看跌期权(long put)来说, 当期货价格上行时, 其价值将降低, 因而delta为负值; 反过来看, 看跌期权价值将随着期货价格的下行而增加.Delta是衡量投资组合的一项非常重要的参数, 它能够识别整个组合是多头头寸还是空头头寸. 本章将分成多篇介绍delta的定义, delta 是如何变化的, 以及随着期货价格、波动率和到期期限的动态变化特征.Delta可用百分数表示(看涨期权的delta为0到100%、看跌期权为0到-100%), 但也经常用基点或者小数表示. 如用基点表示为50delta看涨期权 (50 delta call)或20delta看跌期权(20 delta put), 要注意看跌期权的delta是负值. 用小数表示时, 可以说某期权的delta为0.50. 本书中, 这三种表示方式均会使用.
下面译者插入一张bloomberg的截图说明delta的表示方法(见图5.0). 图中给出了伦敦金属交易所铜期权的波动率微笑, X-轴表示各行权价期权的delta状态, 50D为50delta的缩写, 表示delta 为50%, 即平值期权; 35DC为35 delta call的缩写,表示虚值看涨期权delta 为35%; 35DP为35 delta put的缩写, 表示虚值看跌期权的delta为-35%. Y-轴表示各delta期权所对应的隐含波动率(见波动率(下)).
图5.0 来自bloomberg的LME铜波动率微笑（X-轴为delta水平:50D表示平值期权delta为50%,35DC表示虚值看涨期权delta为35%, 35DP表示虚值看跌期权delta 为35%）不同行权价的期权对应的delta也不同. 若看涨期权的delta为25%, 意味着期货价格上涨$1, 期权价值将增加25美分; 也就是说, 买入一单位该看涨期权相当于买入25%单位对应期货. 若看涨期权为深实值时,它的价值会随着期货上涨$1而增加$1; 这时, 期权能代表期货, 即100%delta. 显然, delta不能超过100%, 因为买入看涨期权的持有者有权购买等量的期货（期货的delta 相当于100%）(不同品种的一单位期权表示标的实物的具体不同数量. 这在交易前需要理清）. 对看跌期权来说, 若其delta为-40%, 意味着期货价格下跌1 美元时, 期权增加40 美分; 本质上, 买入一单位看跌期权代表卖出了40%单位期货头寸. 深实值看跌期权相当于期货的空头头寸, 即delta为-100%.可用正态分布来理解delta的变动. 简单说, 市场上涨和下跌的可能性各占一半, 因此, 对看涨或看跌的平值期权来说, 期货价格均有50% 的可能性向期望盈利方向变动(持有看涨期权多头期望期货上涨, 持有看跌期权多头期望期货下跌). 这个百分比正是平值期权的delta. 恰如波动率章节所说, 假设市场波动服从正态分布, 那么, 在期权到期日时, 期货价格各有50%的概率高于或低于初始价格.平值看涨期权的delta为0.50, 在期权到期日时, 有50%的可能性变成价内(期货价格高于行权价), 也有50% 的可能性期权价值为0. 如前所述, 在Black-Sholes模型中, 采用的是对数收益率. 若波动率变大或到期期限拉长时, 分布可能会有一定的偏度而非完全对称, 这也造成看涨期权delta略高于50%的原因. 稍后将讨论该问题.期货多头头寸delta相当于100%, 这意味着反转期权组合的delta也为100%, 即C-P=100%; 若看涨期权的delta 为50%, 则看跌期权的delta为-50%（因为50%-(-50%)=100%）. 期货空头头寸的delta相当于-100%, 也就是说, 转换期权组合的delta为-100%.
表5.1中给出平值看涨期权50%delta的应用举例. 假设期货价格为$50(波动率为20%, 期权的到期期限为1 年), 平值看涨期权和平值看跌期权的价值均为$4, 当期货价格上涨$1涨至$51时, 看涨期权价值将增加$0.5至$4.5(要增加$1的50%), 看跌期权价值将减少$0.5至$3.5(即变动$1的-50%). 相反, 当期货价格下跌$1至$49时, 看涨期权将减少$0.5至$3.5, 而看跌期权将增加$0.5至$4.5.
我们经常听别人提到"delta中性", 有时可能令人迷惑. 持有看涨期权多头的交易员为获利期待期货价格上涨, 那么, 在价格上涨过程中, 任何delta对冲都会令盈利空间压缩, 所以, 该交易员绝不会选择delta中性. Delta 中性的交易员看中的是其他盈利机会(例如, 他可能是gamma交易或vega交易), 或者是试图从买卖价差(bid ask spread)中获利的做市商.例如, 期货价格为$50, 其平值看涨期货的公允价值为$4.00, 做市商可能买价报$3.9、 卖价报$4.1. 当某交易员从做市商手中以$4.1买入看涨期权时, 做市商相当于卖空数量为期权头寸50%的期货. 为对冲其卖出看涨期权的风险敞口, 做市商需要马上以$50价格买入数量为期权头寸50%的期货(当做市商卖出看跌期权时, 需卖出数量为期权头寸50%的期货). 这样做市商没有任何风险暴露, 因为他以期货多头对冲了做市过程中产生的看涨期权空头.假如期货价格仍为$50, 做市商以$3.9的价格回购看涨期权时, 这相当于是买入数量为回购期权50%的期货. 为使delta再次回到中性, 做市商需要以$50的价格卖出数量为回购期权50%的期货. 在期货价格变动较快时, 则可能的情况如下：当期货价格为$50时, 做市商仍看到平值看涨期权的公允价值为$4. 当有客户询价时, 做市商可能仍会报买卖价格为$3.90/$4.10. 如果做市商以$3.9的价格从客户手上买入平值看涨期权, 则做市商会立刻以\$50的价格卖出数量为期权50%的期货头寸来对冲其期权头寸. 这时做市商不存在风险敞口, 他以期货空头对冲了期权多头. 稍后, 若期货价格涨至$51, 做市商认为行权价为$51 的看涨期权公允价值为$4.5, 这时他会$4.6卖出看涨期权，并以$51价格买入数量为期权50%的期货来维持delta中性.做市商的期货对冲损失是$0.50, 而不是$1.00: 因为每次对冲的数量为期权的50\%. 不管市场最终如何变化, 只要做市商坚持对冲delta暴露始终保持账面delta中性, 则期权的买卖价差(bid ask spread) 都会兑现. 因此, 做市商可以专注于做买卖价差获取利润-----用交易的行话可以说是“剪羊毛(scalping)”.尽管以上示例是简单展示做市交易中的delta风险敞口(实际上, 还有其他的风险敞口), 但能够清楚说明delta 中性对冲如何操作, 以及参与者如何应用它.在这些示例中, 假设期权delta值稳定在50%, 实际上, delta是动态的, 一直处于在变动.对投资组合来说, 因delta的百分比表示并不是很直接而很少使用, 最好用美元表示, 即标的资产价格1美元变化引起投资组合变化多少美元来表达.假设投资组合构成如下：10,000单位delta为0.50的买入看涨期权(10,000 calls long with a 0.50 delta)、8,000单位delta 为0.40的买入看涨期权和6,000单位delta为0.25 的买入看涨期权. 以美元计算, 该期权组合的delta为9,700(译者注：计算公式为 原文误将9,700写成9.700), 也就是说, 若期货价格上涨1美元, 该期权组合将获利$9700. 这相当于买入9700单位期货. 若改用delta的百分数表达则为970,000%(译者注：原书笔误为970.000%), 这种表达方式(尽管正确)很可能令人困惑, 主要在于百分比的参照水平可能令人不解. 而用美元表示的delta非常便于人们理解, 其数字对应期权组合损益, 意义更直观.
5.2 Delta的动态特征(Dynamic Delta)
假设在到期前的一毫秒（极短的时间）内买入行权价为$50的看涨期权, 那么, 只要确定行权时的期货价格低于$50, 该期权将一文不值. 不管期货价格是$40、$49, 还是$49.95, 期权的价值均为0, 因而其delta也为0. 但只要期货价格高于$50, 期权就具有内在价值. 例如期货价格从$50 跳到$51, 看涨期权价值将从0跳到$1. 进一步讲, 期货价格高于$50多少则期权价值增加多少, 因而, delta为100%, 如图5.1 所示.图5.1 到期日时行权价为$50的看涨期权delta动态特征(Delta distribution of the $50 call at expiry)
如果期权的到期期限延长, 那么, 到期日时的标的资产价格概率区间也将扩大. 刚才提到, 若行权价为$50的买入看涨期权将在一毫秒内到期, 而这时期货价格为$40, 那么, 该看涨期权即无价值也无delta(即价值为0且delta为0, 因为已经没有机会成为实值期权). 然而, 若将该看涨期权的到期时间延长，例如半年, 它就会具有一定的价值. 因为(有足够的时间)在到期日时, 期货价格有一定的概率会高于$50. 正是这种可能性赋予看涨期权一定的价值: 只要有小概率成为实值期权, 人们就愿意投资. 若期货价格上行，则期权价值增加; 反之, 期权价值缩水. 因此, 一定存在delta. 当到期期限更长时, 例如1年, 期货价格的概率区间将更大, 进而期权价值及其delta增加. 如图5.2所示, 这时若期货价格为$35, 更长期限的期权仍可能具有一定的价值.图5.2 不同到期期限下行权价为$50的看涨期权价值（Value of the $50 call at different maturities）如图5.2所示, 当期货价格约在$60—$62水平时, 每上涨1美元, 则到期期限为半年、行权价为$50的看涨期货将上涨1美元. 这时, 看涨期权的delta为100%. 当期权到期期限延长至1年时, delta为100%对应的期货价格水平约为$66—$68. 在图5.2中, 还可以看到, 除到期日外, 看涨期权的delta值逐渐变大的路径并非线性, 这种方式可称为凸性（convexity）（译者注：delta随期货价格的增加方式与相应的正态分布累计函数一致, 希腊字母gamma正是描述凸性变化的）.假设波动率为20%、到期期限为3个月, 那么行权价为$50的看涨期权凸性区间将在$38和$66之间(译者注：凸性区间即为delta从0到100\%变化时对应的期货价格大约起止点). 如图5.3所示, 当期货价格约在$38时, 该期权才开始具有delta值, 且delta随着期货价格的上涨而增加, 大约涨至$66时, delta将接近于100%.
图5.3 到期期限3个月、波动率20%、行权价$50的看涨期权delta动态变化图（Delta distribution of the $50 call, volatility 20%, maturity 3 months）图5.4 到期期限1个月、波动率20%、行权价$50的看涨期权delta动态变化图（Delta distribution of the $50 call, volatility 20%, maturity 1 month）
在波动率为20%、到期期限为1个月的情况下, 行权价为$50的看涨期权delta从0增至100%对应的期货价格凸性区间在$42和$60之间, 如图5.4所示. 若到期期限缩短, 期货价格的概率区间会相应收窄, 即凸性区间也收窄(平方根函数, 见波动率章节). 进一步，若到期期限持续缩短至到期日, 此时看涨期权的delta要么为0、要么为100%. （译者注: 此时的期货价格概率区间退化为一个点，即当前的期货价格）.图5.5 波动率为20%、行权价为$50的看涨期权在不同到期期限下的delta动态变化图（Delta distribution of the $50 call, volatility 20%,different maturities）图5.5显示, 行权价为$50的看涨期权到期期限越长, 则其delta从0增到100%所跨的价格区间越大. 假设波动率为20%, 当到期期限为1个月时, 该价格区间约为[43, 58]; 当到期期限延长至3个月时, 价格区间约扩至[39, 64]; 若再延长至1年, 则价格区间约为[30,80].图5.6 波动率为20%、行权价为$50的看跌期权在不同到期期限下的delta动态变化图（Delta distribution of the $50 put, volatility 20%,different maturities）以上所讲同样适用于看跌期权, 如图5.6所示(译者注: 注意看跌期权delta的范围为-100%到0): 对行权价为$50的看跌期权, 当到期期限为1年时, 期货价格约在$80水平(从高价往低价观察), 其delta才有很小的量（高于$80时, 期权delta为0）; 当到期期限缩减1个月时, 期货价格要缩减至约$58的水平, 期权delta才有很小的量. 再观察下限, 到期 期限为1个月的看跌期权-100%delta对应的期货价格约在$43, 而到期期限为1年的看跌期权-100%delta对应的期货价格约为$30.
待续波动率、行权价对delta影响等
2021.7.31
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