2023年08月专业笔记
揭秘宇宙万物运行规律的数学——《常微分方程》关键公式的推导和例题详解
本文给出了《常微分方程》中常用的重要公式的推导过程和详细的解释。从工科应用的角度出发,重点放在常用方程的求解计算。对于解的存在性定理等理论性太强的定理不做讨论。本文分以下几部分:<0>从实例引入 <1>一阶微分方程 <2>高阶微分方程 <3>微分方程组 <4>精选试题
图1 微分方程知识体系结构
<0>从实例引入
正如标题所言,常微分方程(Ordinary Differential Equation)是一门揭秘宇宙万物运行规律的数学。著名科幻小说《三体》中数学天才魏成如痴如狂的计算推演三体星球的运行规律,用的数学工具就是微分方程。从数学上说,微分方程是研究函数变化规律的有力工具,在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各领域中有着广泛的应用。但是任何数学要发挥作用,首先要建立研究对象的数学模型。这里以一个导弹跟踪问题为例来建立微分方程模型。
<1>一阶微分方程
图2 一阶微分方程知识结构
<1.1>线性方程的通解
<1.2>恰当方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的解
<1.3>伯努利方程的解法
<1.4>里卡提方程的解法
<2>高阶微分方程
<2.1>二阶线性常系数微分方程 (高数教材节选)
<2.1.1>二阶线性常系数齐次微分方程
<2.1.2>二阶线性常系数非齐次微分方程
ay”+by’+cy=f(x)
解释:当α是特征方程的单根,则
解释:当
<2.2>线性微分方程的解的结构
1)
2)如果当f(x)=f1(x)时,有一个特解
当f(x)=f2(x)时,有一个特解
那么当f(x)=f1(x)+f2(x)时,有一个特解
<3>微分方程组
<3.1>
<3.2>
<3.3>矩阵指数计算 (
定义式
<4>精选试题(真题)
<4.1>
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<4.2>
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<4.3>
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<4.4>
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<4.5>
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<4.6>
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<4.7>
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<4.8>
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<4.9>
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<4.10>
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<4.11>
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