大模型开发 - 一文搞懂人工智能数学基础（中）：线性代数

不懂线性代数，何以高效处理高维数据？

本文将从向量与矩阵、行列式与线性方程组、特征值与特征向量三个方面，带您一文搞懂人工智能数学基础（中）：线性代数。

线性代数

一、向量与矩阵

向量的本质：将非数字符号进行编码得到量化表示，用于方便计算机处理数据并计算距离、相似度等。

向量的本质

向量正逐步崭露头角，有望成为AI时代的数据交换标准，类似于互联网时代广泛使用的JSON（JavaScript Object Notation）。

向量的定义：向量是一组有序的数字（标量），用于在多维空间中表示数据点或特征。

向量的定义

向量的运算：向量的加减法、向量的数乘

• 向量的加减法

向量的加减法

• 向量的数乘

向量的数乘

矩阵的本质：通过点积运算来刻画两向量的相似度和方向关系。

矩阵的本质

矩阵的定义：矩阵是数值的矩形阵列，由行列构成，元素位置固定。

矩阵的定义

矩阵的运算：矩阵的加减法、矩阵的数乘、矩阵的乘法

• 矩阵的加减法

矩阵的加减法

• 矩阵的数乘

矩阵的数乘

• 矩阵的乘法

矩阵的乘法

二、行列式与线性方程组

行列式：n阶行列式表示一个数字

N阶行列式结构

N阶行列式是N阶矩阵元素按特定规则计算得到的标量值，而N阶矩阵是由N行N列元素组成的矩形数组。

N阶行列式定义

行列式的计算：对角线法则进行计算

• 2阶行列式

2阶行列式

• 3阶行列式

3阶行列式

线性方程组：一组包含一个或多个未知数的线性方程的集合。

• 线性方程组的一般形式

线性方程组的一般形式

• 线性方程组的矩阵形式

线性方程组的矩阵形式

• 齐次线性方程组

齐次线性方程组

• 线性方程组的初等变换

线性方程组的计算：

线性方程组的计算

三、特征值与特征向量

特征值与特征向量：特征值反映了矩阵的伸缩变换程度，而特征向量则指明了矩阵变换的方向。

特征值与特征向量

特征多项式与特征方程：特征多项式通过特征矩阵的行列式得到，用于求解特征值的方程。

特征多项式与特征方程

构造特征多项式：通过将矩阵的特征值代入行列式并展开得到的多项式。

构造特征多项式

求解特征多项式：计算矩阵的行列式，并将特征值代入行列式表达式中，通过代数运算得到多项式方程。

求解特征多项式