顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,它的底边与腰长比是黄金比.如图,BD、、分别是顶角为36°的等腰三角形ABC,ADB,底角的角平分线,依次类推可得△ABC、△ADB、△……都是黄金三角形.这样无限制地继续下去,则可得到黄金三角形套.D、、……分别是线段CA、BD、…的黄金分割点.试说明点D为什么是AC的黄分割点.
解析:
因为△ABC是黄金三角形,所以∠C=36°且AB∶AC=∶1.
那么∠CAB=∠CBA==72°.
又因为BD是∠CBA的平分线,所以∠ABD=∠DBC=36°.所以△ABD和△DBC是等腰三角形.所以AB=BD=DC.又因为AB∶AC=∶1,所以DC∶AC=∶1,即点D是AC的黄金分割点.
提示:
利用三角形内角和定理可求得△ABD和△DBC是等腰三角形,通过代换即可得出。
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