(2017·江苏泰州)阅读理解:
如图①,图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.
例如:图②中,线段PA1的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.
【题干解析】
阅读中“点P到图形l的距离”与“点到点、点到直线、两平行线间的距离”有区别也有联系,如图2中的两个距离,务必理解清楚,才能解好后面的试题。
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解决问题:
如图③,平面直角坐标系xoy中,点A、B的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向轴正方向运动了t秒.
(1) 当t=4时,求点P到线段AB的距离;
简析:根据定义,画出如下图所示的图形,根据勾股定理,可得所求的距离为PA=4×根号2.
(2)t为何值时,点P到线段AB的距离为5?
【图文解析】
画出符合题意的图形,分两种情况:(本题解法,均是水到渠成,不做详解)
情况一:如下图示,
实际上,此时PA⊥AB,验证如下:
因此本题有两个答案:分别是t=5或11.
(2) t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)
【图文解析】
根据题意,点P到线段AB的距离不超过6,就是到点A的距离小于6或等于6;分点在点A到横轴的垂足左边和右边两种情况讨论.
先求出距离为6的t的值。
左侧时,如下图示:t=8-2×根号5.
右侧时,如下图示,由PH⊥AB联想到“直角”相关的解题思路(多种解法,之前的文章多有论及),分别在直角△AFH和直角△ABE中,由sin∠BAE=HF/AF=BE/AB得;1/AF=3/5,解得AF=5/3=PG,从面t=OP=8+3+5/3=38/3.
【反思】理解好概念、画出正确的图形是解题的关键,同时要注意分类讨论思想、常用的解题思路(如图中与“直角”相关的)在解题中所起的作用.
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