(2017·兰州)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣1/2x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式;
(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;
②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求1/2AM+CM的最小值.
【图文解析】
(1)简析:将点A(﹣4,﹣4)和B(0,4)代入抛物线的解析式y=﹣x2+bx+c,可得关于b、c的方程组,解得b=-2,c=4.所以抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4;
(2)当四边形GEOB是平行四边形时,先作出符合条件的图形,因点的顺序固定,所以答案只有一种,如下图示:
首先先由A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点用待定系数法求出直线AB的解析式,为y=2x+4.
因E是直线AB上的动点,可设E(m,2m+4),如下图示:
得到EG=yG-yE=(﹣m2﹣2m+4)﹣(2m+4)= ﹣m2﹣4m.
当四边形GEOB是平行四边形时,EG=OB=4,即﹣m2﹣4m =4,解得m=﹣2,所以G(﹣2,4).
【反思】若题中的条件“四边形GEOB是平行四边形”改为“以G、E、O、B为顶点的四边形是平行四边形”,则答案有多种。其余相关图形如下:
(3)①由已知条件,不难证明∠EAF=90°,△AEF为直角三角形,所以当以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形时,只有一种可能是四边形AEHF是矩形(点的顺序固定),如下图示:
首先先求出直线AB的解析式为y=2x+4.因E点在直线AB上的动点,所以可设E(a,2a+4),相应地F为(a,﹣1/2a﹣6)(因直线AC:y=﹣1/2x﹣6),
设H(0,p),如下图示,
因EF是矩形AEHF的对角线,所以EM=FM,得到M(a,3/4a-1).
同理,又可得到M(-2,-2+1/2p),如下图示,
所以a=﹣2,3/4a-1=-2+1/2p.解得a=﹣2,p=﹣1.所以E(﹣2,0).H(0,﹣1).
②将与本小题无关的点与线(包括抛物线删除——解难题前建议先“清理垃圾”),得到:
半径=AE的1/2(或AE=半径的2倍),这与题目“求1/2AM+CM的最小值”中的1/2,显然有必然的联系.
遇到1/2AM+CM常转化为通常的两线段和,进一点转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”或利用“函数转化为最值问题”,根据题意,本题不宜用函数方法,同时因本题中的动点M是在圆上动,可经常通过“旋转相似”进行转化。
为此,取半径EG(这条半径在OA上)的中点P,连接EM、PM,得到△MEP和△AEM,如下图示:
此时,我们所需要的线段AE=2×根号5,EM=半径=根号5,EP=半径的1/2,不难得到:EM:AE=EP:EM,又∠AEM=∠AEM,所以△MEP∽△AEM,从而得到PM:AP=相似比=1/2,得到PM=1/2AM,成功转化.
“求1/2AM+CM的最小值”就转化为“求PM+CM的最小值”,由于P、C均是定点,且M点在⊙E上运动,根据“两点之间线段最短”(或三角形的三边关系),不难得到:当M落在PC与⊙E的交点上时,PM+CM最小.如下图示:
因此,所求1/2AM+CM的最小值,就是PM+CM的最小值=PC的长.
前面已经证过∠CAE=900,同时:
【反思】注意体会第3小题中的“1/2”的转化,其中“旋转相似”(动点在圆上动)、“平移相似”或“对称相似”是解决此类问题的常见方法.
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