2017年云南中考倒一（几何背景）
(课件制作过程的视频在文章末尾)
（2017·云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)设OP=1.5AC，求∠CPO的正弦值；
(3)设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围.
图文解析：
(1)显然图中的点C是明确的(在圆O上)，要证PC是⊙O的切线，只需连接OC，证OC⊥PC即可，如下图示：
(本题解法多种，下面仅提供两种)
方法一：如下图示，
由“PB是⊙O的切线”得∠OBP=90°，再通过∠OCP=∠OBP=90°可证.
方法二：如下图示，
由“PB是⊙O的切线”得∠OBP=90°，再通过△POC≌△POB，得到∠OCP=∠OBP=90°.可证.
(2) 由OP=1.5AC，可设AC=2t，则OP=3t.可添加如下图所示的辅助线：
显然图中有一个最基本且重要的基本图形(“母子直角三角形”)，显然有∠1=∠2.
(3)当AC=9，AB=15时，画出相应的几何图形(对应的相关距离 d和f)，如下图示：
由图中的彩色部分基本图(“8”形)，结合与“直角和圆”相关联，不难得到：可添加如下图的辅助线。
易证得四边形AEDF是矩形(三个角是直角)，所以AE=DF，从而d+f=BF，因此求d+f的取值范围，就是求BF的取值范围。
由于此时C点是固定(因AC=9)的，而M为直径AB上的动点，对应的CM就是动直线，当动直线变化时，对应的点F的变化范围如下图示：
其中BF的最大值和最小值的所在点是：
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