2017年陕西中考倒一(几何背景)
问题提出(1)如图①△ABC是等边三角形,AB=12.若点O是△ABC的内心,则OA的长为___________;
解析:方法多种,仅提供一种最常见的方法思路(与正多边形相关的).
问题探究 (2)如图②,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18.如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.
解析:矩形是中心对称图形,要想将矩形的面积平分,则只需过对角线的交点作任意一条直线即可,而题目要求是“线段PQ将矩形面积平分”,即所画的线段必须经过P(其中Q是BC边上所求作的点),结合上述分析,所要画的线段是:
问题解决(3)某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水.于是,他主喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌),同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.
如图③,已测出AB=24m,MB=10m,△ABM的面积为96(m2);过弦AB的中点D作DE⊥AB交弧AB于点E,又测得DE=8m.请你根据以上提供的信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?为什么?(结果保留根号或精确到0.01m)
解析:认真观察动态演示(自动演示)
本题需要重点解决以下几个问题:(1)弧AB所在的圆的半径长;(2)圆心O所在的位置;(3)射程最大的位置及求法.
作射线ED交AM于点C, 根据垂径定理和圆的对称性,不难得到:弧AB所在的圆的圆心(设为O)必在射线DC上,设半径为r,连接OA.如下图示:
进一步,得到OD=r-8=5.
在△AMB中,由S△AMB=0.5AB×MN得:MN=2S△AMB/AB=2×96÷24=8.如下图示:
同时在Rt△BMN中,由勾股定理得:BN=6.
下面继续求出DC的长,说明圆心O在△AMB的内部.如下图示:
分别在Rt△ACD和Rt△AMN中,tan∠1=CD:AD=MN:AN,即CD:12=8:18.解得CD=16/3>OD(=5),因此点O在△AMB的内部.
下面说明射程的最大值,设G为圆弧AB上的任意一点,就是求MG的最大值.
显然,当MG经过圆心O时(如下图的MF)射程最大.(根据在三角形中任意两边之和大于第三边),当然O点在△AMB的内部,这个结论才成立(上述动态演示中,已经说明这点,并且不难证明)。
下面,求MF的值,MF=OF+OM,其中OF是半径为3,OM的长可以通过如下图如示的方法求出.
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