(2017·湖北恩施州)如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；
（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；
（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．
【图文解析】
(1)将点（﹣2，2）和（4，5）代入抛物线的解析式y=ax2+c，可得关于a、c的方程组，解得a=1/4，c=1.所以抛物线的解析式为y=1/4x2+1；
(2)设B（m,1/4m2+1），则C（m,0）.
坐标平面内的距离，横的就是水平宽，竖的就是铅垂高，斜的就是构造Rt△,用勾股定理解之。如图1：
由垂线段最短可得：PC>PO=1=PF,
即PC≠PF，∴以B、C、F、P为顶点的四边形不可能是菱形
3）当 m>2时，即P点在F点上方，
由△FBC是等边三角形得∠BCF=60°，
∴∠FCO=30°
在Rt△FCO中，FO=2，所以FC=4
∴P(0，6)即m=6
∴综上所述，自然数m的值为0或6.
【反思】此题需要考虑到m<>（P点在F点下方）与m>2（P点在F点上方）两种情况，并画出相应的图形，这样才能做到不重不漏。
【反思】F、B两点确定下来后，本题就转变为学生较常见的已知两定点，抛物线上一动点，此三点围成的三角形面积的最大值问题。于是，就转化为铅垂高、水平宽求面积。
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