动点问题，一直以来是学生的“殇”，尤其是多动点问题，情形复杂，学生不知从何下手.本文拟以课堂教学中遇到的一道压轴题为例，采取一题一课的形式，从多角度、多维度思量动态问题中常见的一些存在性问题，旨在提升学生解决动点问题的能力，开拓学生思维，形成解题套路.
一、原题呈现
如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．
(1)当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．
(2)在整个运动过程中：
①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形；
②当圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围（直接写出答案）．
二、就题论题
先解决第(1)小问，规范解答如下：
一解一反思：用含有t的代数式表示图中的相关线段，这是解决动态问题最起码的基本功，可以利用“路程s＝速度v×时间t”，设出时间t，将各点运动的路程在图中标出来，然后利用线段的和差倍分、题中给定的条件或者已学过的相关定理等，将图中能用t的代数式表示出来的线段尽可能都表示出来，最后借助勾股定理、相似或者其他知识等列出关于t的方程，求解便可.
对于动态问题，尤其是复杂的多动点问题，同学们一定要养成标图的好习惯，像静态平面几何问题一样，只有标图清晰、精简，才有望在复杂的干扰条件中寻找到解题突破口，切记“标好图、做好题”；
下面罗列笔者的几个标图好习惯：
①审题时，迅速将动点的运动方向用箭头表示出来，像图1－1那样，这可以使整个运动概况清晰呈现在眼前，便于捕捉细节，减轻大脑压力；
②将图中的所有线段尽可能用最简洁的方式标记出来，但前提是不能太乱，要精简节约，让人一看就懂，这有利于解题突破口的发现；
③“眼中有角，心中有比”，将图中确定的角，尤其是相等的角，用相同的符号标记出来，如“单弧”、“双弧”等，甚至可以用“△”或“☆”等；
总而言之，标图越清晰，解题越有利.笔者心中标图的最高境界是“题目扔掉，只看图形，一看便懂，哪怕是几十年之后看到此图，仍旧历历在目”，同学们要有意识地自我培养标图好习惯，这对于几何的学习、能力的提升，百利而无一害.很多学生之所以难以提高解题能力，一个很大的原因，就是忽视或者错过了这种最基本的标图等能力的培养.
第(2)小问，情形相对复杂，需要一些见招拆招的本领，下面笔者提供一套解决此类多动点问题的“机械化”思路：
题中有两个动点，且都在射线上运动，整个过程明显不止一类情形，如何分类、分几类是当务之急.
这类复杂的动点问题都可以采取如下方式轻松确定分类标准：
第一步（罗列关键时刻，绘制时间轴图）：如图2－1，将每一个动点经过的关键点（含起点、拐点、临界点、终点等），并算出经过每一个关键点的时刻，利用数轴工具罗列出这些关键时刻，绘制出吾所谓的“关键时刻数轴图”；
第二步（以时间为标准，确定分类情形）：依据所画数轴，本题可分三大类：①0≤t＜8；②8≤t＜10；③t≥10；
第三步（逐类画出草图，细致精准分析）：上述三类情形，本质就是两动点的三种相对位置关系，直观地说，即：
①点E、F均在D的左侧；
②点F在D的左侧且点E在D的右侧；
③点E、F均在D的右侧.据此，可以画出各自草图，借助图形再细致分析，具体如下：
因为确定的∠CDM是个锐角，故此等腰三角形存在性问题还需再分三小类，即：❶DM＝DC；❷DM＝CM；❸DC＝CM；
注：动点问题，往往设出时间t，将图中所需线段用含有t的代数式表示出来后，完全可以视t为常数，问题相当于t时刻的静态问题，故有上述△CDM确定之说.
Ⅱ.当8≤t＜10时，即当点F在D的左侧且点E在D的右侧时，如图2－3（已作局部放大处理），要使△CDM为等腰三角形，由∠CDM为钝角，只可能CD＝DM；
最后只需依据题意，找到等量关系，列出相应方程，求解即可（注意取舍）.
下面提供规范解答，仅供参考：
一解一反思：多动点或运动路径为折线型等问题，相对而言，情形复杂，往往需要分类讨论，上述解答伊始，利用数轴罗列各动点在关键点（如起点、拐点、终点等）处的时刻，然后依据数轴被分各区域，轻松确立分类标准，这是解决此类复杂动态问题的通法，需要同学们认真体悟并在以后的解题中灵活运用.
此外，还需有自我意识地培养以下各种基本的解题好意识，以提高解题真本领：
①画图好意识：既然要分类，那就多画图，一类对一图.准备好铅笔、刻度尺、圆规等画图工具，画出草图，再结合题目中某些特殊的条件，特事特办，逐步精准分析定位，想办法找到合适的等量关系列出方程，求解即可；
②标图好习惯：几何学习，重在与图形打交道，既要培养规范作图的好意识，也要养成清晰标图的好习惯.准备好黑色水笔、圆珠笔、红笔等，将题目中相等的角标记为同一种符号或者同一种颜色等，这样有利于分析问题，找到解题的突破口.对于题目的多个问题，也可以采用不同颜色的笔去标记、分析，如用圆珠笔解第(1)问，红笔分析第(2)问等.这是笔者自己的解题好习惯，没有多色笔，遇题不想动，尤其是含多个问题或者需一题多解的综合题等；
③简化处理图：要善于对图形作“减法”或“简法”处理，慧眼识珠，在复杂全图中敏锐地捕捉到所需部分，忽略干扰线条，画出核心结构，另行处理，别地分析，这样有利于基本图形识别与构造能力的培养，提高分析问题、解决问题的本领；
④确定性思想：平时审题时，常带着确定性思想去分析问题，树立“确定的必可求”之意识，尤其是解一些确定的三角形，要借助全等的各种判定方法去分析问题，甚至于眼中无变量，即时间t都能看成为常数，结合这些含有t的“常值”去分析问题、解决问题，无往而不利，“心中常怀确定性，审题解题都给力”！
⑤等腰处理：基于确定性分析，对等腰三角形的存在性问题，若其三个内角都不确定，则需由勾股定理等知识（包括坐标系中两点间距离公式等）将其三边长均表示出来（“SSS”），再利用两腰相等为标准，分三类列方程，求解即可，这种处理方式不妨称为“纯代数法”；
若其某个内角确定，只需将此内角的两邻边表示出来（“SAS”），再以两腰相等（或两底角相等）为标准，分三类，借助三线合一，利用此确定角可以导出这两个边的比值，列出方程，求解便可，这种处理方式不妨称为“纯几何法”；
上面的问题，即采用了这里的“纯几何法”.
⑥眼中有角，心中有比：定边则定长，定角则定比，基于确定性思想去导角、分析角，利用这些确定的角所在直角三角形三边之比确定，用比例口算问题等，是一种重要的解题能力，需要同学们在平时的学习中慢慢积累、体会，逐渐成为自己的解题利器.
至于最后一小问，仍依据上述三大类情形，逐一画出草图，然后精准分析，具体如下：
Ⅰ.当0≤t＜8时，即点E、F均在D的左侧时，如图3－1，显然EF的中点O始终处在矩形ABCD内（包括边界），
图3－2对应t＝0的时刻，
而图3－3对应t＝8的时刻，
均符合题意；
Ⅱ.当8≤t＜10时，即当点F在D的左侧且点E在D的右侧时，如图3－4至图3－6所示，
显然，随着时间t的增加，圆心O经历了由矩形ABCD内部到矩形的一边上，再到矩形外部的过程，而图3－5的临界位置就是题眼；
Ⅲ.当t≥10时，即当点E、F均在D的右侧时，如图3－7，显然圆心O在矩形ABCD的外部，不符合题意.
从以上分析可以看出，解决此问的关键是图3－5所对应的临界时刻，
即圆心O刚好落在边CD上时，如何用好这个特殊的条件，是解题的突破口，下面提供两种解法：
一解一反思：“巧借数轴妙分类，画出草图细分析；锁定关键临界点，改斜归正方可解；另谋出路亮新招，建系解析照样行！”一首打油诗，道尽解题路.
下面常见的解题策略需引起同学们的关注与重视：
①改斜归正：此题EF的中点O，相当于“斜比”（即EO：OF＝1：1），而从E、O、F各点引出的系列“水平－竖直辅助线”，可以化“斜比”为“直比”（即ED：DG＝1：1），这是一种重要的化斜为直思想，有着广泛地应用，尤其是涉及坐标系中的相关问题，同学们都可以尝试采用“水平－竖直辅助线”去尝试解决问题，将“斜元素”转化为“直元素”，往往能化腐朽为神奇，化难为易！
请记住，“当你连尝试的勇气都没有，你就不配拥有成功，也永远不会成功，哪怕失败了又有何妨，重头再来也无所谓，要敢于去想，敢于去尝试，失败永远比退缩更可贵！”
不信，同学们可以尝试下面这个老师原创题组，深刻体会改“斜”归正在解题中的妙用：
这里仅提供第(1)小问的解法，如图3－24所示，其他问题的解法大同小异！
几点友情提示如下：
①改“斜”归正策略，构造相关“水平－竖直辅助线”，化斜为直，这是平面直角坐标系中极其重要而基本的辅助线，要勇于尝试，善于发现；
②“坐标轴”三角形：当坐标系中的直线解析式确定时，它与坐标轴围成的直角三角形会随之确定，在解决与直线有关的综合题时，大家要善于使用这个特征三角形，利用构造的“水平－竖直辅助线”，怀有相似情怀，眼中找角，心中导比，斜直转化，屡试不爽.
②建系解析法：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚先生对于数学的理解，它告诫我们几何、代数本为一体，很多几何问题可以借助代数手段计算说理，而建立恰当的平面直角坐标系，引进解析法，这为我们的解题世界打开了一片新天地，建议同学们去了解解析法，但不宜滥用，平时的学习中还是应以几何法为首要选择，对于初中生而言，这是培养几何逻辑思维的重要途径，否则解析法反而会限制学生思维，阻碍思维发展，切记，莫滥用，逼不得已再使用，或者与几何法穿插交替使用，达到炉火纯青之境；
拿本题为例，最后一问提供的解析法其实就是在几何法分析的基础上，需要求临近位置时，再选取建系解析法.若本问一股脑地，不管三七二十一，一上来就直接开动解析法，未尝不可，但计算量过大，而且错过利用分类画图策略，确定临界位置的大好机会；
纯解析法，具体如下，仅供对比之用：
解析法的优势是基本上不动脑袋，只顾着计算，运算能力要求高，对比可见，很多计算都是无用功，根本不需要；几何法的优势是简洁美观，需要一颗玲珑剔透心，画出图形，结合图形慢慢分析，这对思维能力要求高，包括画图分析问题的能力等.其实两者结合，不失为妙法，两者相辅相成，彼此守望相助.
凡事无绝对，此题若改编成以下问题，笔者首推解析法：
（改编题）在原题的条件下，当E从点A运动到点D时，求圆心O运动的路径长.
这里提供了直线型路径问题的一种重要通法，即解析法，笔者给出如下结论：
①只要目标动点的横、纵坐标都是关于某个参数t的一次式时，该动点一定在某条定直线上运动；
②此直线的解析式可以通过令其横坐标为x，纵坐标为y，然后再消去参数t，得到y与x的一次函数关系式，即为目标动点所在的直线解析式；
③最后采取临界点法，找到目标动点的起点坐标与终点坐标，再利用两点间距离公式求出其长，即为所求路径长.
下面提供一道中考真题，供学生巩固练习之用：
就题论题而言，本题已经得到了较深入地解说与探究，但笔者绝不会止步于此，“学而不思、思而不变，废也”.解题、学习绝不能仅仅停留于题目本身，还应多思考、多探索，一道题、一课题，深入挖掘，收获更丰！
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