《函数的单调性判定及其应用》内容小结、题型、典型题与参考课件

一、函数单调性的判定方法

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则

(1)在(a,b)内f’(x)>0(或f’(x)≥0且不存在任意子区间f’(x)≡0)，则函数f(x)在[a,b]上严格单调增加．

(2)在(a,b)内f’(x)<0(或f’(x)≤0且不存在任意子区间f’(x)≡0)，那么函数f(x)在[a,b]上严格单调减少.

二、单调性判定步骤和单调区间计算

(1)写出定义域.

(2)确定单调区间的分界点：函数导数等于0或者导数不存在的点是连续函数单调区间可能的分界点. 以这些点为分割点分割定义域为定义区间.

(3)确定单调性：判定上面给出的依据导函数符号判定单调性的方法确定各定义区间上函数的单调性.

(4)写出单调区间并明确单调性：单调区间一般写成开区间，也可以是闭区间(如果函数是闭区间上的连续函数).

【注】如果需要判定函数不连续区间的单调性，则一般考虑定义的方法，即在考虑的区间内任取x₁<x₂，判定函数f(x₁)，f(x₂)的大小(一般考虑差值法，如f(x₂)-f(x₁)的正负，或者比值法f(x₂)/f(x₁)大于1或小于1)关系来确定函数的单调性，函数值的大小关系与自变量相同，则为单调递增函数，否则为单调递减函数.

三、函数极值的判定

(1)极值第一充分条件：设f(x)在x₀处连续，在x₀的某去心邻域内可导，则

(1)如果f’(x)左正右负，那么f(x)在x₀处取极大值．

(2)如果f’(x)左负右正，那么f(x)在x₀处取极小值．

(3)如果f’(x)不变号，那么f(x)在x₀处不取极值．

(2)极值的第二充分条件：设函数f(x)在x₀处具有n阶导数，且

那么

●n为偶数时，x₀为极值点，且n阶导数大于0，取极小值；n阶导数小于0，取极大值.

● n为奇数时，x₀不是极值点.

比如二阶导数判定法. 该结论的证明用函数在x₀的带皮亚诺余项的泰勒公式，并借助于极限的保号性和极值的定义法来判定. 具体参见课件.

【注】极值的判别法都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .

四、极值的判定和极值点、极值的计算

(1)写出定义域.

(2)确定可能的极值点：函数导数等于0或者导数不存在的点，也是连续函数单调区间可能的分界点.并以这些点为分割点分割定义域为定义区间.

(3)确定极值点与计算极值：对于可能的极值点求函数的二阶导数，如果二阶导数存在且不等于0，则依据第二充分条件判定并确定极值点和计算极值.否则，依据第一充分条件判定并确定极值点和计算极值；如果两个方法都失败，则依据定义法判定并确定极值点和计算极值.

五、应用题型

(1)验证函数不等式

●改写、移项构建辅助函数，借助函数在区间端点的函数值，借助函数的单调性验证函数不等式；

●借助极值获取函数最值的方式来验证函数不等式的成立(如函数大于等于最小值，小于等于最大值).

(2)验证常值不等式

●转换常值不等式为一个函数在两个不同点的函数值，并通过判定函数在由两个端点构成的区间上的单调性来确定函数在两个不同点的函数值的大小；

●选取其中一个常值为变量，构建辅助函数，借助于函数单调性的判定来确定不等式；

●转换为函数值小于常数值的结构来判定函数值的最值的方式来验证不等式.

(3)判定方程的根或函数零点的个数

●借助函数的严格单调性判定函数零点或方程根的唯一性；

●借助最值获取函数最值的方式，并借助函数在最值点的正负和两侧的单调性来确定方程根或者函数零点的个数.

具体应用实例可以看见课件！

参考课件节选