《上集》中题目中的“不变角”太明显了，只要同学们有“变化中抓不变”的解题意识，狠抓这些“不变角”，借助等腰三角形“三线合一”辅助线，比例口算列方程即可轻松搞定！
但有时候“不变角”比较隐蔽，需要同学们首先树立主动寻找它们的意识，才有可能发现这些特殊的不变角，我们来看看下面这道例题！
二、隐性的“不变角”
例2：（题目来源：高邮市赞化学校九年级中考指要,2015年湖南怀化中考压轴题）
如图2，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由．
简析：对于前两问，笔者这里简单提两句：动点P的路径是“直来直去”的，属于“单轨”，而动点Q的路径则发生了变化，属于“多轨”；
直观上就知道下面的问题都要分两种情况去讨论，画图分析；
另外对于第（1）小问除了可以分类画图分析用t的代数式表示出PQ的长，其实也可以几何直观就知道，当点Q运动到点B时，即当t=5时，PQ最大；
而这种动态问题中的直观能力，可能比会用代数式表示出PQ更加重要，需要同学们认真反思并掌握；
对于第（2）小问，要结合PQ的生成过程，仔细思考出什么是PQ扫过的面积，这一点是解决此问的前提；
下面重点分析第（3）小问中涉及的“等腰三角形存在性问题”：
下面一道圆与等腰三角形存在性问题综合性问题，完全摘自本人作品《圆与等腰三角形存在性问题综合一例————浅谈确定性思想及因果关系分析法》，这里每张图的序号依然保留原文中的序号，可能与前文有冲突，请无视！
第（1）小问及第（2）小问不再赘述，具体详见本人作品《圆与等腰三角形存在性问题综合一例————浅谈确定性思想及因果关系分析法》；
其中，易求得⊙M的半径为5，EB=6；
这里重点摘录第（3）小问的过程（以不变应万变，巧用比例口算）：
解题前，我经常会“扪心自问”：在这个问题中，哪些元素是确定性的？哪些元素是变化着的？这些变化的元素之间又具备怎样的因果关系？在变化中又有哪些不变的量？
是的，我会紧扣“确定性思想”及“因果分析法”，再结合“以不变应万变”的解题策略进行，具体操作如下：
第一步，我会想“哪些量在变？谁随着谁的变化而变化？”：很明显点P、R在动（其他的点都是定点），且R随着P点的运动而运动，也会随着P点的确定而确定，这就导致了△CRE在也在变化，不妨称点P是“主动点”，点R是“从动点”，△CRE是“从动三角形”，此题问的就是“当P点运动到什么位置时，△CRE为等腰三角形”，也可以说成是“当△CRE为等腰三角形时，点P运动到什么位置，即EP为多长”.
第二步：知道了题目提问的目标三角形△CRE在变化后，我会继续追问“在这个三角形变化的过程中，有哪些不变的量”！不管怎么变化，△CRE三个顶点中C、E两点始终不变，导致始终有一条边CE保持不变，另外还总有一个内角∠ECR始终保持不变，这就是解题的关键所在，抓住此不变的角，用好此角所在的直角三角形三边最简整数比，则可以使问题的解决事半功倍.
第三步：抓住上面的两个不变量，即不变的边CE及不变的角∠ECR画图分析，这里可以直接运用“连续变化的思想”，假设点R从C点到B点连续运动，去寻找符合△CRE为等腰三角形的点R，也可以借助尺规作图，利用经典的“两圆一线法”寻找到点R的精确位置，找到后再想办法求解，模型如图13所示，找到符合条件的三个点R1、R2、R3.
第四步：利用上面找到的三个点R，分三种情况，依依求解，在求解中仅仅抓住∠ECR为不变角（从而其所在直角三角形的三边之最简整数比也是确定的）及CE的长也是确定的.
由∠ECR=∠EAB，且Rt△EAB三边之比为EB：EA：AB=3：4：5，知∠ECR所在的直角三角形三边之比也一定恒为3：4：5.这个方法本质上就是相似，但我之所以称之为“比例法”，单独拿出来说，是因为在学生解题过程中，无论是计算（包括口算）还是分析思路方法，都能起到意想不到之效，当然书写上不太规范，仍应该按相似写法或者三角函数来书写，这就是我跟学生经常讲的，“相似-三角-比例”本就是一家！具体操作如下：
总结反思：
在很多数学问题中，尤其是动态问题，“以不变应万变”，抓住不变量是一种核心的数学思想方法.“万变不离其宗”，解题中，若是能有效地抓住那些不变的要素，搞明白问题的“来龙去脉”，往往就能够抓住要害，达到不可思议之效.本文拟从两道等腰三角形的存在性问题为例，抛砖引玉，盼读者能够体会到这种“动中有静”、“动静结合”的行之有效之法.
站在“抓运动中的不变量”的数学思想高视角下，来审视上面的所有问题，包括其他相关的动态问题，其实都是“大同小异”！站得高，望得远！只有“会当临绝顶”才能“一览众山小”！
很喜欢波利亚大师的一句名言：“没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平！”
值得一提的是，正文中来自《中考指要》上的例2，其实在本人的课堂上，并没有想到这种几何法，组内同仁当时还问我除了代数计算外有没有其他好方法，当时我也答不上，但是就在我想整理此专题的时候，灵感一闪，想起了课堂上跟学生做前两问，包括第（3）小问代数法的时候，有个比例1:2:，而且反复再用，于是灵感一闪，这不就是我要寻找的“不变角”嘛！只不过稍隐蔽了而已，思考是一件多么有趣的事啊！
（下集完！）
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