如图,已知B(﹣1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点,点D为第二象限一动点,E在BD的延长线上,CD交AB于F,且∠BDC=∠BAC.
(1)求证:DA平分∠CDE;
(2)若在D点运动的过程中,始终有DC=DA DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数?
【图文解析】
(1)根据已知条件和图中的图形特征(含“蝶形”),不难得到∠1=∠2(这个结论务必熟练,太常用了),如下图示:
现直接证“DA平分∠CDE”,显然不可能,虽然有一共边,但构造两三角形全等,难度还是较大,为此联想到“角平分线定理的逆定理——到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.如下图示:
问题就转化为证明“两线段相等(AM=AN)”,此时再找两三角形全等,就容易多了。结合已知条件和现有条件(两直角已经相等和∠1=∠2),不难得到△ABN≌△ACM(AAS).如下图示.(其中AB=AC是由OB=OC及OA⊥BC得到的)
从而得到AM=AN,…….
详细解答过程如下:
证明:过点A作AM⊥CD于点M,作AN⊥BE于点N.则∠AMC=∠ANB=90°.
∵B(﹣1,0),C(1,0),A在y轴上
∴OB=OC,OA⊥BC,∴AB=AC,
又∵∠ABD=∠ACD,
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN.
∴AD平分∠CDE.(到角的两边距离相等的点在角的平分线上);
(2)不难证得△ABC是等腰三角形,同时已知条件是“DC=DA DB”,自然想到“取长补短”法(之前这个系列已有多篇文章解析),当然也可用“旋转”法来证(但有点“超纲”之嫌,毕竟“旋转”内容是九年级内容).下面提供两种思路(本质一样).
法一:在CD上截取CP=BD,连接AP.如下图示,通过全等,不难得到:PA=AD.
另一方面,由已知DC=DA DB及CP=BD,可得AD=PA,所以△PAD是等边三角形.
进一步地,得到:∠DAP=60°.所以∠BAC=∠BAP ∠CAP=∠BAP ∠BAD=60°.
详细解答过程如下:
解:∠BAC的度数不变化.理由如下:
在CD上截取CP=BD,连接AP.
∵CD=AD BD,∴AD=PD.
∵AB=AC,∠ABD=∠ACD,BD=CP,
∴△ABD≌△ACP.
∴AD=AP;∠BAD=∠CAP.
∴AD=AP=PD,即△ADP是等边三角形,
∴∠DAP=60°.
∴∠BAC=∠BAP ∠CAP
=∠BAP ∠BAD=60°.
法二:延长BD至P,使DP=AD,连接AP.如下图示,通过全等,不难得到:PA=AD.
另一方面,由已知DC=DA DB及DP=AD,可得AD=PA,所以△PAD是等边三角形.
……(下同法一).
变式与拓展
如图,已知B(﹣1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点,点D为第三或第四象限一动点,E在BD的延长线上,CD交AB于F,且∠BDC ∠BAC=1800.
(1)求证:DA平分∠CDE;
(2)若在D点运动的过程中,始终有DC=DA DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数?
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