(2012•洪山区模拟)已知Rt△ABC中.直角边AC=3.BC=4.P.Q分别是AB.BC上的动点...
分析:(1)当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线,交BC于Q,则△CPQ为等腰三角形;当CP为腰时,在BC上截取CQ=CP即可,所以这样的点有两个,分别求出即可;
(2)根据题意画出符合条件的三角形即可求出Q的位置,进而求出出相应的CQ的长;
(3)过Q作QP⊥BC,交AB于P点,连接CP,则△CPQ为直角三角形,作∠CAB的平分线AO,交BC于O点.作OP1⊥AB于P1点.设CO=t,则OP1=t,CD=2t,OB=4-t.先根据相似三角形△ABC∽△OBP1的性质求得t值,即得到线段CD的长度,再分情况讨论.①Q与点D重合时,以CQ为直径的圆与AB相切,②Q点在线段CD上时(不与C、D重合),0<CQ<3,以CQ为直径的圆与AB相离,③Q点在DB上时(不与D、B重合),3<CQ<4,以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3.
解答:解:(1)当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线,交BC于Q,
则腰是CQ=PQ;
此时CQ=
BC=1.5;
当CP为腰时,在BC上截取CQ=CP,
则腰是CP=CQ′,
此时CQ=CP=
=2.4;
(2)当P是AB的中点时,如图2,若△CPQ与△ABC相似,这时满足条件的点Q有3个,
①当△COQ∽△BCA,时,
∴
==
,
∴CQ=
BC=2;
②△PQ′B∽△CAB时,
∴
=,
∵AP=BP=
AB=2.5,BC=4,
∴
=,
∴BQ′=
,
∴CQ′=4-
=
;
③△CPQ″∽△BCA时,
∴
=,
∴
=,
∴CQ″=
;
(3)可能.
过Q作QP⊥BC,交AB于P点,连接CP,则△CPQ为直角三角形,作∠CAB的平分线AO,交BC于O点.作OP
1⊥AB于P
1点.
∴CO=OP
1以O为圆心,OC为半径作⊙O,⊙O与AB相切,切点为P
1,与CB的交点为D.
设CO=t,则OP
1=t,CD=2t,OB=4-t.
由△ABC∽△OBP
1,得
=,
∴
=
,
解得:t=1.5,
∴CD=3,
∴当Q与点D重合时,以CQ为直径的圆与AB相切,切点为P
1,连CP
1、P
1Q,△CP
1Q为直角三角形,此时共有两个直角三角形,
当Q点在线段CD上时(不与C、D重合),0<CQ<3,CQ为直径的圆与AB相离,此时只有一个直角三角形CQP.(9分)
当Q点在DB上时(不与D、B重合),3<CQ<4,以CQ为直径的圆与AB有两个交点P
2、P
3.分别连接P
2、P
3与点C和Q,得直角三角形CQP
2和CQP
3,此时有三个直角三角形.
点评:本题考查了直角三角形的性质,等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的性质和判定,此类题目还是相似与圆的知识的综合运用,难点在第(3)题,解决的根据是三角形相似的性质和直线和圆的三种位置关系.
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