如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数图象在第一象限的分支上的任意...

解：（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，
由题知A（1，0），B（0，1），
把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
得k+b=0，b=1，
解得k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵点P（a，b）是反比例函数

图象上的点，
∴

．
∴E（a，1-a），F

；

（2）△AOF与△BOE一定相似．
理由如下：
∵OA=OB=1，
∴

，∠OBA=∠OAB=45°，
∴

，

，
∴

，

，
∴

=OA?OB=1，
∴

，
又∵∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∠FOE=45°，角度始终不变．
理由如下：
∵△AOF∽△BEO，
∴∠FOA=∠OEB，
∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，
得∠FOE=∠EAO=45°；

（4）设平行于直线AB的直线解析式为y=-x+m，
解方程

，
化简得2x2-2mx+1=0，
当△=0时，解得

（负值舍去）．
所以

，解得

．
所以点P的坐标为

．
∴点P到直线AB的距离最短为

．
解析分析：（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，运用待定系数法求出直线EF的解析式，由点P（a，b）是反比例函数

图象上的点，得出

，又点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b即

，分别把x=a，y=

代入直线EF的解析式，即可求出对应的值，从而得出结果；
（2）在△BOE与△AOF中，由于∠OBA=∠OAB=45°，根据相似三角形的判定，可分别计算BE：OB与OA：AF的值，如果它们相等，那么△AOF∽△BEO，否则，就不相似；
（3）根据相似三角形的对应角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和得出∠FOE=∠EAO=45°；
（4）假设在双曲线

上存在点P，使点P到直线AB的距离最短．那么平行于AB的直线y=-x+m应与双曲线

相切，即方程

有两个相等的实数根，根据判别式△=0求出m的值，从而确定点P的坐标，进而得到点P到直线AB的最短距离．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定及性质，一次函数与反比例函数的关系，通过解方程求交点坐标等知识．综合性强，有一定难度．