函数的不动点有大用

1

神马叫不动点？

对于函数y=f(x)，方程f(x)=x的根称为函数f(x)的一阶不动点.方程f(f(x))=x的根成为函数f(x)的二阶不动点.依此类推，可以定义函数的n阶不动点.

一阶不动点就称为不动点，二阶不动点也称为稳定点.

2

求不动点和稳定点

看栗子.

1.求函数f(x)=2x-1的不动点和稳定点.

求不动点.令2x-1=x，解答x=1.所以函数f(x)的不动点是1.

求稳定点.令2（2x-1)-1=x，解得x=1.所以函数f(x)的稳定点是1.

2.求函数f(x)=-x的不动点和稳定点.

求不动点.令-x=x，解得x=0.所以函数f(x)的不动点是0.

求稳定点.令-(-x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意实数.

3.求函数f(x)=-1/x的不动点和稳定点.

求不动点.令-1/x=x，方程无实数解.所以函数f(x)没有不动点.

求稳定点.令-1/(-1/x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意不为零的实数.

咦，怎么有时不动点和稳定点一样，有时又不同呢？

为回答这个疑惑，我们讲两个小结论.

3

不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点

先证明前半句话.

再证明后半句话.举个反例即可.

比如2是函数f(x)=-x的稳定点，但不是函数f(x)=-x的不动点.（就是上面第2个函数的例子）

4

若函数f(x)单调递增，则它的不动点和稳定点等价

下面做等价条件的证明.

5

高考题实战

2013年四川高考理科数学卷第10题.

本题是选择压轴题，考察了函数的稳定点问题.

经过简单分析发现，函数f(x)为单增函数，所以我们可以把稳定点问题转化为不动点问题.

不动点法应用很广，比如在数列中，求复杂数列的通项公式时，经常用到不动点法.