高中数学：直线与平面平行的判定和性质

1、直线与平面的位置关系

（1）直线在平面内

2、直线和平面平行的判定

    

，

，

3、直线和平面平行的性质

    

4、将线面问题转化为线线问题

“过线作面找交线”

例1、如图，已知P是

ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD//平面MAC

证：连结AC、BD相交于点O，连结MO

∵ O为BD的中点，又M为PB的中点    ∴ MO//PD

又 ∵ MO

面MAC，PD

面MAC   ∴ PD//面MAC

 

例2、正方体

中，棱长为

，画出过A、C、B₁的平面与下底面的交线

。

解：在面

内，过点

作直线

由正方体性质

    ∴ 

    ∴ 

面

∴ 

为面

与面

的交线

例3、求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。

已知：

，

，求证：

证：过

作面

交面

于

    ∵ 

   ∴ 

同理，过

作

    ∵ 

  ∴ 

   ∴ 

又 ∵ 

   ∴ 

   又面

过

交

于

∴ 

    ∵ 

   ∴ 

 

例4、如图，A、B分别是异面直线

上的两点，AB的中点O作面

与

、

都平行，M、N分别是

上的另外的两点，MN与

交于点P。求证：P是MN的中点。

证：连结AN交

于Q，连结OQ、PQ   

∵ 

，OQ是过

的面ABN与

的交线    ∴ 

OQ

同理PQ//

   在

中，O是AB的中点，OQ//BN

∴ Q是AN的中点    又 ∵ PQ//AM  ∴ P是MN的中点

 

例5、三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于一点或两两平行。

已知：

求证：

交于一点或

证：∵ 

    ∴ 

∴ 

的位置关系只有相交或平行两种情况

（1）

与

相交时，设

，则

∵ 

    ∴ 

∴ P为

和

的公共点    又 ∵ 

   ∴ 

∴ 

相交于同一点P

（2）

时，∵ 

   ∴ 

∴ 

   故

两两平行

 

例6、如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，

，且AM=FN，求证：MN//面BCE。

证：作MG⊥BC于G，NQ⊥BE于Q，连结GQ，则MG//AB，NQ//AB

∴ MG//NQ   ∴ 

而

∴ 

    ∴ MG=NQ   ∴ 四边形MGQN为平行四边形

∴ MN//GQ   ∵ MN

面BCE，GQ

面BCE    ∴ MN//面BCE

 

例7、正方体

的棱长为1，过

且平行于对角线

的截面的面积等于多少？

解：连结

交于O  取

中点E，连结OE、

，

∵ E、O分别为

的中点    ∴ 

∵ 

面

，

面

   ∴ B₁D//面

∵ 

∴ 

    ∴