高中数学：几种优化抛物线运算的方法

一、设而不求的整体处理

在求抛物线方程时，常会遇到两曲线的交点及相关点的问题，若设而不求，整体处理，可求解。

例1、过抛物线

上一点A（4，2），作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率为定值。

解析：设B（

），C（

），则

，

，

，

。

由题意，得

，

，则

。

故

为定值。

 

二、点差法

在抛物线中，直线与抛物线相交弦的中点问题是个重点。其解法多种多样，点差法是解题方法之一。

例2、给定抛物线

，过点B（2，4）能否作直线l，使l与抛物线

交于两点

，且点B是线段

的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解析：设

（

），

（

），代入抛物线方程得

。两式相减并分解因式，得：

 ∵B（2，4）是

的中点，

 

，代入上式得，即

。

若直线l存在，则方程为

，即

。

将

代入抛物线方程得，

。

因为其判别式△<>，故此直线与抛物线不相交，这样的直线不存在。

三、韦达定理

抛物线中涉及到弦长、弦中点、曲线与直线交点以及原点为垂足的垂直问题，运用韦达定理可避免求交点坐标。

例3、直线l：

交抛物线

于A、B两点，当△AOB（O为原点）的面积为2时，求实数k的值。

分析：因直线l与y轴的交点为M（0，1），而△AOB的面积等于△AOM和△BOM的面积之和，若△AOM和△BOM都以OM为底边，这样△AOB面积就与A、B两点的坐标相联系。

解析：设A（

），B（

），则

即

把

代入

中得，

。因此，

。代入上式得

，解得

。

 

四、常数代换，化成齐次方程

抛物线弦的两端点与原点连线的斜率问题，化为齐次方程，过程简洁。

例4、抛物线

与过点M（0，－1）的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之和为1，求直线l的方程。

分析：用常规方法去解，相当麻烦。但若把直线方程设出来，用含有x、y的式子来表示常数项，代入到抛物线方程中，可得一个关于x、y的齐次方程，运用韦达定理即可解决问题。

解析：设直线l的方程为

，即

，代换抛物线方程

中的系数1，得

，整理得关于x，y的齐次方程

。方程两边同时除以

，得

，显然

是该方程的两根。

由条件

可知，

。故直线l的方程是

。