高中数学,三角恒等变形弦化切,这么使用公式,高分唾手可得。在三角恒等变形这一部分,利用同角三角函数公式,把含有正弦和余弦的代数式化为正切是一个基本的技能,这也是三角化简计算的基础之一,掌握这个基础技能将大大有利于解决难度较高的三角综合题。
第1题
第1题第①问分析:给出了tanα的值,来求一个含有正弦余弦的代数式,明显需要把正余弦化为正切,下面要讲的是弦化切最常见的方法,分母是弦的2次式,只需要把分子1写成sin²α+cos²α,这样分子分母都是关于弦的2次式子,然后分子分母同时除以cos²α,就可以把所有的弦化为正切,实际上,只要分子分母中的每一项的弦(正弦或余弦)的次数都相同,就可以使用这种方法把弦化为正切,其它题使用的也是同样的思维,不再一一讲解,本题详细过程如下:
第②问分析:可以把这个式子看成分母等于1的“分数”,然后把分子和分母中的1都换成sin²α+cos²α,这样分子分母中的每一项都是弦的2次式子,然后分子分母同除以cos²α即可,过程如下:
第③问分析:先把代数式书写成分母为1的分式形式,同时把1改写为sin²α+cos²α,然后分子分母同时除以cos²α,如下图,之后分子中还含有弦:sinαcosα,只需要使用同样的方法把sinαcosα化为正切即可,详细过程如下:
第2题
第2题分析:如果基础好的学生,看到已知中的等式,就会想到经过化简可以求出tanα的值:
求出了tanα的值,然后进行弦化切即可:
第3题
这也是一道弦化切的题型,把题中等式的两边平方后,正弦和余弦都变成了2次,然后就可以顺利地把正弦和余弦化成正切,详细如下,这样等式中只含有正切,解方程就可以求出tanα的值。
tanα求出了两个值,但这两个值不一定都符合题意,对于三角函数求值问题,一定要牢记,任何情况下,确定角的范围是必须进行的步骤。
下面咱们分析一下当sinα+cosα取不同的值时,角α的大致范围,如下图:绿色线表示正弦和余弦线,当角α的终边在第一象限时(即①处),sinα+cosα>1;当角α的终边在②处时,sinα+cosα∈(-∞,-1);当角α的终边在③处时,sinα+cosα∈(-1,0)。根据这个分析,就可以最终确定出tanα的值。
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