一、空间点、直线、平面之间的位置关系
1、平面的基本性质的应用
① 公理1:
公理1
② 公理2:
公理2
③ 公理3:
2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .
3、公理 2 三推论:
① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面;
② 两条平行直线唯一确定一个平面;
③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .
4、点共线、线共点、点线共面问题
① 证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,
再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .
② 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,
再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上 .
③ 证明点线共面问题的常用方法 :
方法一:
先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;
方法二:
先证明有关的点、线确定平面 α ,
再证明其余元素确定平面 β,
最后证明平面 α,β 重合 .
【例题1】如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD = ∠FAB = 90°,
BC ∥且= ½ AD,BE ∥且= ½ FA,G , H 分别为 FA , FD 的中点 .
(1) 证明:四边形 BCHG 是平行四边形;
(2) C , D , F , E 四点是否共面?请说明理由 .
例题1图
【解析】
(1) 证明:
∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点,
∴ GH 是 △FAD 的中位线,
∴ GH ∥且= ½ AD ,
又 ∵ BC ∥且= ½ AD,
∴ GH ∥且 = BC,
∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .
(2) 证明:
方法一:
证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .
∵ BE ∥且= ½ FA,点 G 为 FA 的中点,
∴ BE ∥且= FG,则四边形 BEFG 为平行四边形,
∴ EF∥BG .
由 (1) 可知 BG∥CH,
∴ EF∥CH,即 EF 与 CH 共面,
又 ∵ D∈FH,
∴ C , D , F , E 四点共面 .
方法二:
分别延长 FE 和 DC,交 AB 于点 M 和 M'',
在证点 M 和 M’重合,从而 FE 和 DC 相交 .
如上图所示,分别延长 FE 和 DC,交 AB 于点 M 和 M'',
∵ BE ∥且= ½ FA,
∴ 点 B 为 MA 的中点,
∵ BC ∥且= ½ AD,
∴ 点 B 为 M''A 的中点,
∴ M 与 M'' 重合,即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,
∴ C , D , F , E 四点共面 .
二、异面直线的判定(方法)
1、定义法(不易操作);
2、反证法
先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交;
再由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,
从而否定假设肯定两条直线异面 .
假设法在异面直线的判定中会经常用到 .
3、常用结论
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点 (A) 的直线是异面直线 .
【例题2】如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .
(1) AM 和 CN 是否是异面直线?请说明理由;
(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线?请说明理由 .
例题2图
【解析】(注:先给结论,再给理由,注意答题规范!)
(1) AM 和 CN 不是异面直线 .
理由:
如图上图所示,分别连接 MN , A1C1 和 AC,
∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点,
∴ MN∥A1C1 ,
又 ∵ AA1∥且=CC1 ,
∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形,
∴ A1C1∥AC,
∴ MN∥AC,
∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内,
故 AM 和 CN 不是异面直线 .
(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .
证明:
∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体,
∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .
假设 D1B 和 CC1 不是异面直线,
则存在平面 α,使 D1Bㄷ平面α,CC1ㄷ平面α,
∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α,
∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾,
∴ 假设不成立,
∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .
三、异面直线所成的角
1、求异面直线所成角的方法
关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交,
或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交 .
2、求异面直线所成角的步骤
① 通过作出平行线,得到相交直线;
② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角;
③ 通过解三角形求出该角的大小 .
【例题3】如图所示,在空间四边形 ABCD 中,
已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°,点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点,
求 EF 与 AB 所成角的大小 .
例题3图
【解析】
要求 EF 与 AB 所成的角,可以经过某一点作两条直线的平行线,因为 E,F 都是中点,
所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .
取 AC 的中点,平移 AB 和 CD,
使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .
【解答过程】
取 AC 的中点 G,分别连接 EG 和 FG ,
则有 EG∥AB,FG∥CD,
∵ AB = CD ,
∴ EG = FG ,
∴ ∠GEF (或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角,
∠EGF (或它的补角)为 AB 与 CD 所成的角,
又 ∵ AB 与 CD 所成的角为 30°,
∴ ∠EGF = 150° 或 30°,
由 EG = FG , 可知 △GEF 为等腰三角形,
当 ∠EGF = 30° 时,∠GEF = 75°,
当 ∠EGF = 150° 时,∠GEF = 15°,
∴ EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° .
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