一、空间点、直线、平面之间的位置关系
1、平面的基本性质的应用
① 公理1：
公理1
② 公理2：
公理2
③ 公理3：
2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .
3、公理 2 三推论：
① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；
② 两条平行直线唯一确定一个平面；
③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .
4、点共线、线共点、点线共面问题
① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，
再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .
② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，
再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .
③ 证明点线共面问题的常用方法 ：
方法一：
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
方法二：
先证明有关的点、线确定平面 α ，
再证明其余元素确定平面 β，
最后证明平面 α，β 重合 .
【例题1】如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，
BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .
(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .
例题1图
【解析】
(1) 证明：
∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，
∴ GH 是 △FAD 的中位线，
∴ GH ∥且= ½ AD ，
又 ∵ BC ∥且= ½ AD，
∴ GH ∥且 = BC，
∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .
(2) 证明：
方法一：
证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .
∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，
∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，
∴ EF∥BG .
由 (1) 可知 BG∥CH，
∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，
又 ∵ D∈FH，
∴ C , D , F , E 四点共面 .
方法二：
分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，
在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .
如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，
∵ BE ∥且= ½ FA，
∴ 点 B 为 MA 的中点，
∵ BC ∥且= ½ AD，
∴ 点 B 为 M''A 的中点，
∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,
∴ C , D , F , E 四点共面 .
二、异面直线的判定（方法）
1、定义法（不易操作）；
2、反证法
先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；
再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，
从而否定假设肯定两条直线异面 .
假设法在异面直线的判定中会经常用到 .
3、常用结论
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点 (A) 的直线是异面直线 .
【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .
(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；
(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .
例题2图
【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）
(1) AM 和 CN 不是异面直线 .
理由：
如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，
∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，
∴ MN∥A1C1 ,
又 ∵ AA1∥且=CC1 ,
∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，
∴ A1C1∥AC，
∴ MN∥AC，
∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，
故 AM 和 CN 不是异面直线 .
(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .
证明：
∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，
∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .
假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，
则存在平面 α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，
∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，
∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，
∴ 假设不成立，
∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .
三、异面直线所成的角
1、求异面直线所成角的方法
关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，
或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .
2、求异面直线所成角的步骤
① 通过作出平行线，得到相交直线；
② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；
③ 通过解三角形求出该角的大小 .
【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，
已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，
求 EF 与 AB 所成角的大小 .
例题3图
【解析】
要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，
所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .
取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，
使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .
【解答过程】
取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，
则有 EG∥AB，FG∥CD，
∵ AB = CD ,
∴ EG = FG ,
∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，
∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，
又 ∵ AB 与 CD 所成的角为 30°，
∴ ∠EGF = 150° 或 30°，
由 EG = FG , 可知 △GEF 为等腰三角形，
当 ∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，
当 ∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，
∴ EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° .
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