分析:
由前面的介绍,该题第一反应应该是建系,如果希望圆的方程简单一点,可以以C为原点,如果希望向量AB、AD和AP写起来简单,可以以A为原点,这两个建系方案差不多,我们以A为原点建系如下:
所以向量AB为(1,0),向量AD为(0,2),向量AP为(λ,2μ).
易得圆C的方程为:(x-1)2+(y-2)2=4/5.
P为圆C上一点,设P(x,y),则x=λ,y=2μ.
欲求λ+μ的最大值,即求z=x+y/2的最大值.
然后我们一般有三个方法来解决:
方法一:
类似线性规划的做法,如下图:
当直线l:x+y/2-z=0与圆C相切时,z取到最值,由圆心C到直线l的距离为半径,可得z=1或3,所以z的最大值为3.
或者直接利用圆心到直线l的距离小于或等于半径解出1≤z≤3.
方法二:
将直线l:x+y/2-z=0与圆C联立,得到二次方程,由判别式不小于零,解得1≤z≤3.
对这道题来说,这个方法太麻烦了.
方法三:
三角换元,或者说就是圆的参数方程:
圆C上一点P(x,y)满足x=1+2cosθ/√5,y=2+2sinθ/√5.
所以x+y/2=2+2cosθ/√5+sinθ/√5=2+sin(θ+ψ),
其中(1,2)在角ψ的终边上.
所以x+y/2的最大值为3.
那么这题还有好的想法吗?
我们学过如下结论:
C为直线AB上一点,O为直线AB外一点,则有:
如下图:
A'、B'、C'满足:
即直线A'B'和AB平行或重合.
则有:
即x'+y'=tx+ty=t.
我们把与AB平行或重合的直线A'B'称为等和线,对其上任意一点C',向量OC'被基底OA和OB表示,系数和一定为定值.
针对上题,如下图:
MN和BD平行且与圆C相切,A,B,M共线,A,D,N共线.
点A到直线BD的距离与圆的半径相等,所以向量AM等于3倍的向量AB,向量AN等于3倍的向量AD.
所以P点为E点时,λ+μ取到最小值1;当P点为F点时,λ+μ取到最大值3;当P在直线BD和MN中间时,1<λ+μ<3.
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