2019高考100题之041(向量3)

       分析：

       已知向量a,b，结合上图由向量的加减运算法则，可得到如下不等式：

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

       或者由|a±b|²=|a|²+|b|²±2|a||b|cosθ，以及cos<a,b>∈[-1,1]，其中θ=<a,b>，也可以得到(|a|-|b|)²≤|a±b|²≤ (|a|+|b|)².

       这个不等式理解起来没问题，但是很难用好，将向量a和b改成实数也可以，这就是不等式选讲中的三角不等式，那个不等式在初一学习了绝对值以后大家都可以理解，但是用起来也很困难.

       当|a|=1,|b|=2时，有1≤|a-b|≤3，1≤|a+b|≤3，当然我们不能说|a-b|+|a+b|的最小值为2，最大值为6，这是因为|a-b|等于1的时候，a和b同向，|a+b|等于3，等号不能同时取到，也就是|a+b|和|a-b|是相互有关联的.

       其实可以由|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|以及|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|，可得|a+b|+|a-b|≥4，当a和b共线时取到等号.

       但是|a+b|+|a-b|的最大值没法求.

       由|a+b|=√(5+4cosθ)，|a-b|=√(5-4cosθ)，

        所以|a+b|+|a-b|=√(5+4cosθ)+√(5-4cosθ)，这儿可以构造关于θ的函数求导来做，但是没必要.

       因为可以平方，由(|a+b|+|a-b|)²=10+2 √(25-16cos²θ)∈[16,20]，

       所以|a+b|+|a-b|∈[4,2√5].

       或者由|a+b|²+|a-b|²=2|a|²+2|b|²(这可是非常重要的一个结论： 其几何意义就是平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和).

       可得|a+b|²+|a-b|²=10，设|a+b|=x，|a-b|=y.

       则该题变为这么一道题：已知1≤x≤3，1≤y≤3，x²+y²=10，求z=x+y的取值范围.

       画出图象如下：

       可以很快得到答案.