2019高考100题之022(直线和圆2)

       这题之前推送过，但是我觉得这道题很好，所以把它放到这100道题里：

        分析：

        该题是把向量、解析几何、三角函数融合到一起的题.

       设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由圆的知识以及向量的数量积的坐标运算可得，A,B点在圆x² +y² =1上，且∠AOB=60^o，其中O是原点，所以|AB|=1，如下图：

       而题中问的是A,B两点到直线x+y-1=0距离之和的最大值，如下图所示：

       取AB中点E,因为|AB|=1，所以E在以O为圆心，√3/2为半径的圆上，如下图：

       过E作直线x+y-1=0的垂线,垂足为F，则|AC|+|BD|=2|EF|，

       所以只需求|EF|的最大值，所以|EF|的最大值为(√2+√3)/2，如下图所示：

       上述是解析几何的做法，该题从三角函数的角度入手，做法也很漂亮：

       设A(cosα,sinα)，B(cos(α+π/3),sin(α+π/3))，

       由三角函数线的知识，可知cosα+sinα在α是第三象限角的时候小于-1,所以原式取最大值的时候，α以及α+π/3均在第三象限，不妨设π<α<7π/6.

       此时原式等于(2-cosα-sinα-cos(α+π/3)-sin(α+π/3))/√2=(2-√6sin(α+5π/12))/√2,该函数最大值为√2+√3，当α=13π/12时取到最大值。注意这儿用到的是辅助角公式，用和差化积会简单点，但是高考不要求，所以学有余力的同学可以去把和差化积、积化和差公式背下来。

         第二个这个做法你说是圆的参数方程也行，但其实就是三角函数的定义。很对同学对于三角函数的认识只停留在被动做题的层面，不会主动去寻找角度作为自变量，然后构造三角函数，就没有让三角函数的价值最大化。当然如果对于三角函数公式推导不熟练，想用这个方法做对也的确难于上青天。