一、定比分点
若,则称点为点、的
定比分点.
当
时,点在线段
上,称为内分点;
当
(
)时,点在线段
的延长线上,称为外分点.
定比分点坐标公式:若点
,
,,则点的坐标为
二、点差法
若点
在有心二次曲线
上,则有
两式作差得
此即有心二次曲线的垂径定理,可以解决与弦的中点相关的问题.
下面介绍定比点差法:
若点
在有心二次曲线
上,则有
两式作差得
这样就得到了
例1、过异于原点的点
引椭圆
的割线
,其中点
在椭圆上,点是割线
上异于
的一点,且满足
.求证:点在直线
上.
证明:直接运用定比点差法即可.
设
,则有
,设
,则有
又因为点
在椭圆上,所以有
两式作差得
两边同除以
,即可得到
命题得证.
例2、已知椭圆
,过定点
的直线与椭圆交于两点
(
可以重合),求
的取值范围.
解析:设
,
,则
.
于是
,于是
又因为点
在椭圆上,所以有
两式相减得
将(1)代入(2)中得到
由(1)(3)解得
从而解得
的取值范围为
,于是
的取值范围为
.
例3、设
、为椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,直线分别交椭圆于异于的点、,若,,求证:.证明:设
,
,
,则
于是有
又由点
在椭圆上得到
两式相减得
从而有
结合(4)式可解得
同理可得
结合(5)式得到
于是有
整理得
,命题得证.
例4、已知椭圆
,点,过点作椭圆的割线,为关于轴的对称点.求证:直线恒过定点.解析:因为
三点共线,
三点也共线,且
三点都在椭圆上,我们用定比点差法去解决这个问题.
设
,
,则
,设
与
轴的交点为
,
,
,则
于是有
由点
在椭圆上得
两式相减得
将(2)代入(3)得
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