一、定比分点
若，则称点为点、的
定比分点．
当
时，点在线段
上，称为内分点；
当
（
）时，点在线段
的延长线上，称为外分点．
定比分点坐标公式：若点
，
，，则点的坐标为
二、点差法
若点
在有心二次曲线
上，则有
两式作差得
此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．
下面介绍定比点差法：
若点
在有心二次曲线
上，则有
两式作差得
这样就得到了
例1、过异于原点的点
引椭圆
的割线
，其中点
在椭圆上，点是割线
上异于
的一点，且满足
．求证：点在直线
上．
证明：直接运用定比点差法即可．
设
，则有
，设
，则有
又因为点
在椭圆上，所以有
两式作差得
两边同除以
，即可得到
命题得证．
例2、已知椭圆
，过定点
的直线与椭圆交于两点
（
可以重合），求
的取值范围．
解析：设
，
，则
．
于是
，于是
又因为点
在椭圆上，所以有
两式相减得
将(1)代入(2)中得到
由(1)(3)解得
从而解得
的取值范围为
，于是
的取值范围为
．
例3、设
、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设
，
，
，则
于是有
又由点
在椭圆上得到
两式相减得
从而有
结合(4)式可解得
同理可得
结合(5)式得到
于是有
整理得
，命题得证．
例4、已知椭圆
，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为
三点共线，
三点也共线，且
三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．
设
，
，则
，设
与
轴的交点为
，
，
，则
于是有
由点
在椭圆上得
两式相减得
将(2)代入(3)得
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