2019高考100题之054(三角函数1）

分析：

       这是一道非常简单的题，但是做法非常多，我们可以通过各种做法来复习三角函数的的各类基础知识，就像今天的封面一样，是之前封面的另一侧，换一个角度看，会有不一样的风景.

方法一：

       方法一就是直接说答案，这道题如果不能直接说答案，那就说明特殊角的三角函数值我们掌握太差了.

      在三角函数中的最重要的两组勾股数是1、√3、2以及1、1、√2，与π/6、π/4、π/3有关的三角函数值我们必须烂熟于心.

      该题显然sinα=1/2，cosα=-√3/2，α=5π/6，所以tanα=-√3/3.

      我们能一下子就看出答案的比如有：

   sinα+cosα=1/5或7/5(想到3/5和4/5)；

   sinα+cosα=7/13或17/13(想到5/13和12/13)；

       sinα+cosα=√2(想到√2/2)等等.

方法二：

       利用sin²α+cos²α=1，解二元二次方程组，代入消元得到一元二次方程，这可是我们高中阶段最重要的方程.

       消元得到2sin²α+(√3-1)sinα- √3/2=0，如果你十字相乘法非常好，这儿可以很快得到答案，如果不好，高考前估计也好不了，那就用求根公式，这儿用求根公式会出现根号里面套根号，不过巧合的是前面给了暗示，(√3-1)²=4-2√3，所以 4+2√3=(√3+1)².

方法三：

       还是利用sin²α+cos²α=1，将sinα+cosα=(1-√3)/2平方得到：

       2sinαcosα=-√3/2，即 sin2α=-√3/2，所以2α=2π/3或5π/3，

       求得α=π/3(舍)或5π/6.

方法四：

       接方法三，解得sinαcosα=-√3/4，和sinα+cosα=(1-√3)/2联立方程组，该方程组消元后得到和方法二一样的二次方程，如果你十字相乘法够好，不联立也可以看出根.

方法五：

       接方法三，解得sinαcosα=-√3/4，可得α为钝角，所以(sinα-cosα)²=1+ √3/2 =(4+2√3)/4，所以 sinα-cosα=(1+√3)/2，然后和sinα+cosα=(1-√3)/2联立解二元一次方程组，这样简单多了.

方法六：

       解方法三，sinαcosα=-√3/4左侧是二次的，所以引入sin²α+cos²α=1，得到sinαcosα=-√3(sin²α+cos²α)/4，然后两边同时除以cos²α(不为零)即可得到关于tanα的二次方程.这儿能解出两个根，由sinα+cosα<0可得3π/4<α<π，所以-1<tanα，然后可以取舍.

方法七：

       利用辅助角公式可得 sinα+cosα=√2sin(α+π/4)=(1-√3)/2，所以sin(α+π/4)=(√2-√6)/4，如果知道sinπ/12=(√6-√2)/4(高手必须知道)，那么就可以知道α+π/4=13π/12.

       或者求出cos(α+π/4)的值，然后利用α=(α+π/4)-π/4来求其三角函数的值.

       按道理高考前不应该一题多解，就应该找通法，但是这道题这些方法都很重要，不同场合可能就能用到不同的方法，所以每一个方法大家都应该掌握.