高中数学：预防求轨迹方程时漏解的妙招

求动点的轨迹方程是解析几何的一个重要问题，轨迹概念包含“完备性”与“纯粹性”两方面，然而因某种原因导致动点轨迹遗漏的现象经常出现。下面通过典型例题，就解题过程中造成动点轨迹遗漏的原因总结如下，以期防范。

一、忽略对动点运动的多种情形的讨论：

例1、直角△ABC的两直角边长分别是BC=a，AC=b（a>b），A、B两点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动（可包括原点），求顶点C的轨迹方程。

错解：如图1，设C（x,y），由A、O、B、C四点共圆，可得∠ABC=∠AOC，即

，所以

。又当A与原点重合时，点C的横坐标为

，当点B与原点重合时，点C的横坐标为

，故顶点C的轨迹方程为

 

。

剖析：上述解法遗漏了另一种情况（如图2）。故顶点C的轨迹方程为

或

。

二、忽略动点的特殊位置。

求动点的轨迹，不但要考虑动点运动规律的一般情况，还要考虑动点的特殊位置，如极限位置、临界位置、轨迹与坐标轴的交点，忽视对这些特殊位置的考虑，常会造成轨迹遗漏。

例2、已知定线段AB的长为2，点P是以点A为圆心的单位圆上的动点，∠PAB的平分线交PB于Q，求点Q的轨迹方程。

错解：以A为坐标原点，线段AB所在的射线为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，如图3所示。则圆A的方程为

，由三角形的内角平分线的性质定理得

，即

。设点Q的坐标为（x,y），由定比分点坐标公式可得点P的坐标是（

），而P在圆上，可得

。

即

 （*）

此就是点Q的轨迹方程。

剖析：应用三角形内角平分线定理的前提条件是P、A、B不共线，而上述解法却忽视了P、A、B共线的情形，导致求轨迹的漏解。正确解法应对P、A、B共线的情形补充说明：（1）当点P运动到点C（－1，0）时，∠CAB=180°。其平分线即y轴与CB的交点是（0，0），适合（*）式；（2）当点P运动到点D（1，0）时，∠DAB=0，其平分线即Ox与DB的交点为线段DB，这时点Q的轨迹就是线段DB：

（

）。

因此，点Q的轨迹方程是

或y=0（

）。

三、忽略题设的几何条件。

若题设的几何条件情形不止一种，而在求轨迹问题中又没有充分全面地加以分析考虑，自然会造成轨迹遗漏。

例3、求与一直线和圆都相切的圆的圆心的轨迹。

错解：设已知直线为l，已知圆的半径为a，建立如图4所示的平面直角坐标系，使直线l平行于x轴，且在x轴的上方，使半径为a的圆的圆心在原点。不妨设所求圆的圆心P的坐标为（x,y），半径为r，原点O到直线l的距离为b，则直线l的方程为y=b（b>a）。

因为动圆P与圆O相切，所以

（取“＋”时两圆外切，取“－”时两圆内切），即

。①

又因为动圆P与直线l相切，所以点P到直线l的距离为r。  

因此

。②

由①②消去r，可得点P的轨迹为抛物线：

 ③

剖析：上述解法忽视了对题设几何条件中已知直线l和已知圆O之间的位置关系进行分析，只就相离情形进行解答，而未注意到相切、相交这两种情况，因而造成了轨迹遗漏。

事实上，当直线l与圆O相切，即b=a时，由③易知动圆的圆心P的轨迹为抛物线：

或x=0（y≠0，y≠a）；当直线l与圆O相交，即b<a时，由③易知动圆的圆心P的轨迹为两条抛物线：

。

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