有时候在圆锥曲线中我们会遇到一些计算极端繁琐的轨迹方程问题，比如：
如图，抛物线 与椭圆 有四个交点，这四个交点共圆，求该圆的方程.
通常情况下，根据对称性，我们要先求出来点
和
的坐标，然后求出线段
的中垂线，中垂线与
轴的交点就是圆心，再用两点间距离公式算出半径，得到圆的方程.
但是稍微操作一下就会发现，把两个方程联立，消去
，得到
，这样两个纵坐标分别为
，接下去求横坐标... 我想小猿老师不需要说下去了，后面的过程肯定是繁琐无比的，甚至一不留神就算错了.
这里老师介绍一种开挂般的速算办法——曲线系方法.
在直线与圆的章节当中，猿宝们应该学过圆系，给定两个圆的方程
和
，如果我们将其进行组合，变成
，其中
和
是实数，则
表示的曲线必然会过
和
的交点（后面会解释这是为什么），特别的，当
的时候，二次项被消去了，退化成了直线，此时
表示过
和
的交点的直线.
如果我们把眼界扩张出去，用
表示一个关于
和
的二次函数（这个式子充分说明了圆方程当中
、
的系数和常数项分别使用
的原因不是
被直线的一般方程用完了，手动滑稽），那么
就可以表示一个二次曲线，这里二次曲线可以是椭圆、抛物线、双曲线等等，比方说，
、
、
、
，那么
就代表椭圆
.
此时，我们拿两个这样的方程
和
，假设两个方程交于点
，这意味着
既可以使
为
，也可以使
为
，那么自然而然，也可以使得
为
. 此时不论
和
是多少，组合出来的方程，一定会过原来两个方程所代表图像的交点.
我们回看到原题当中，一个抛物线
，一个椭圆
，我们先整理成
的形式，分别为
，
，然后组合在一起，写成
（下面的视频红色曲线展示了当
和
改变的时候，曲线的变化的过程，可以看出无论怎么动，都会过抛物线和椭圆的交点）.
这样，我们只需要给定
和
的值，让这个式子是一个圆即可. 回想一下，圆的一般方程的特征是
和
的系数均为
，所以可以列出方程组
，解得
，从而可以写出答案：
.
你学会了吗？
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