有时候在圆锥曲线中我们会遇到一些计算极端繁琐的轨迹方程问题,比如:
如图,抛物线 与椭圆 有四个交点,这四个交点共圆,求该圆的方程.
通常情况下,根据对称性,我们要先求出来点
和
的坐标,然后求出线段
的中垂线,中垂线与
轴的交点就是圆心,再用两点间距离公式算出半径,得到圆的方程.
但是稍微操作一下就会发现,把两个方程联立,消去
,得到
,这样两个纵坐标分别为
,接下去求横坐标... 我想小猿老师不需要说下去了,后面的过程肯定是繁琐无比的,甚至一不留神就算错了.
这里老师介绍一种开挂般的速算办法——曲线系方法.
在直线与圆的章节当中,猿宝们应该学过圆系,给定两个圆的方程
和
,如果我们将其进行组合,变成
,其中
和
是实数,则
表示的曲线必然会过
和
的交点(后面会解释这是为什么),特别的,当
的时候,二次项被消去了,退化成了直线,此时
表示过
和
的交点的直线.
如果我们把眼界扩张出去,用
表示一个关于
和
的二次函数(这个式子充分说明了圆方程当中
、
的系数和常数项分别使用
的原因不是
被直线的一般方程用完了,手动滑稽),那么
就可以表示一个二次曲线,这里二次曲线可以是椭圆、抛物线、双曲线等等,比方说,
、
、
、
,那么
就代表椭圆
.
此时,我们拿两个这样的方程
和
,假设两个方程交于点
,这意味着
既可以使
为
,也可以使
为
,那么自然而然,也可以使得
为
. 此时不论
和
是多少,组合出来的方程,一定会过原来两个方程所代表图像的交点.
我们回看到原题当中,一个抛物线
,一个椭圆
,我们先整理成
的形式,分别为
,
,然后组合在一起,写成
(下面的视频红色曲线展示了当
和
改变的时候,曲线的变化的过程,可以看出无论怎么动,都会过抛物线和椭圆的交点).
这样,我们只需要给定
和
的值,让这个式子是一个圆即可. 回想一下,圆的一般方程的特征是
和
的系数均为
,所以可以列出方程组
,解得
,从而可以写出答案:
.
你学会了吗?
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