空间中平行关系的相互转化

来源 解忧高中数学杂货店

第三讲（分为两小节）我们学习了空间中直线、平面间的平行关系：第（1）节主要讲述直线与平面平行的判定及性质，第（2）节主要讲述平面与平面平行的判定及性质．其中，“线线平行”是空间中一切平行关系的基础．而且我们发现“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”三者之间并不孤立，而是相互联系，可以相互转化的，如图．

请读者先不要看下面的注释，试试看自己能否想清楚每一处的推理逻辑．

注释：①处：直线与平面平行的判定定理．

②处：直线与平面平行的性质定理．

③处：平面与平面平行的判定定理．

④处：直线与平面平行的定义；第3讲第（2）节性质1．

⑤处：平面与平面平行判定定理的推论．

⑥处：平面与平面平行的性质定理．

⑦处：公理4或其他判定“线线平行”的途径．

⑧处：平面外两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面（“线线平行”＋“线面平行”→“线面平行”）；第3讲第（1）节例8．

    ⑨处：平行平面的传递性；第3讲第（2）节性质5．

“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”好比三座城市，它们之间有6条道路相互连接，“平行”好似一个指挥中心，调度协调着三座城市的交通往来．

比如现在要到达“线面平行”，我们就有两条路可走：

一是从“线线平行”过去，二是从“面面平行”过去．

再比如我们现在要到达“面面平行”，可以从“线线平行”过去，也可以从“线面平行”过去．不过遗憾的是，“面面平行”判定定理的推论在考试中不能直接使用（⑤是“非法”道路），必须绕道经过“线面平行”（①→③是“合法”道路），这就好比从城市A 到城市B 本来有直达车却不能坐，偏偏要绕道城市C，或者到城市C进行中转，效率必然下降．

注：直线和平面平行的判定定理与性质定理经常交替使用，即通过“线线平行”推出“线面平行”（判定），再通过“线面平行”推出新的“线线平行”（性质），……综合性强的题目常反复几个来回不断循环推理．而此题则通过作辅助平面，反复利用直线和平面平行的判定定理与性质定理，不断地在“线线平行”与“线面平行”之间转化．