特殊角的妙用—“12345模型”

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几何图形中经常会出现一些特殊角，熟悉的有30°、45°、60°等等，特殊角往往伴随着固有属性运用于题目中，也是解题思路来源之一。

比如看到30°角我们会想到，45°角总是跟等腰直角三角形说不清道不明，60°甚至能牵出一只等边三角形。

关于特殊角，除了用角度表示，诸如15°角的倍数，还可以用三角函数表示，只要最终的结果是：（1）好看；（2）好用，就可以将其归为特殊角。

比如tanA=1/2，诚然我并不知道∠A的度数到底是多少，而且∠A也一定不是一个整数度数，但这并不妨碍∠A的特殊性，∠A所对的直角边是邻边的两倍，这与30°角的并无本质区别。

打开三角函数的大门，打开新世界。

今天，故事的主角也是一个特殊角，哦不，是一组特殊角。

01

从一道北京中考题说起

【2019北京中考第12题】

如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=___°．（点A、B、P是网格线交点）

解法有很多，这里就根据现有的方格纸来构造一下：

∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°

这里的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：

tan∠PAB=1/2，tan∠PBA=1/3

这个正切值可以说很好看了。

02

“12345模型”

12345模型

对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型。

上文所举的北京中考题已经足够说明这个结论，考虑到使用这个结论的多样性，以下用3种方法给出证明：

法一：方格纸中的构造

小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目：求∠1+∠2．

考虑∠1和∠2的正切值，这不正是刚刚所说的α和β吗？

构造等角，将α和β组合到一起：

根据这里的等腰直角△ABC，可得∠1+∠2=45°

此外，模型还可变式为：

法二：勾三股四弦五

如图，AC=4，BC=3，AB=5，这个三角形我们再熟悉不过了。在这里：

分别延长CB、CA可构造构造

        

此处我们还可得：

这个也是在解题中常用的结论。

法三：构造矩形

直角中夹一个45°角也是一种常见的构图。

此处我们还可得：

03

慧眼识角

做题从来都不是靠题目告诉我什么，而是结合已知信息，分析这里需要什么

1

已知45°+α寻β、已知45°+β寻α

留意题中给的45°角以及由正切值确定的α和β。

【2018湖北中考第9题】

如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是（    ）

A．1         B．1.5        C．2         D．2.5

【分析解答】

根据BG是AB的一半，可得tan∠BAG=1/2，

连接AE，易证△AEF≌△AED，

∴tan∠DAE=1/3，∴DE=2，

故此题选C．

【2019盐城中考第16题】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______．

【分析解答】

根据解析式可知：

即可求得C点坐标（3,0），可求得解析式。

【2017浙江丽水第16题】

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两点，已知点C（2,0），点P为线段OB的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是__________．

【分析解答】

∠PAO=α，∠APC=45°，∴∠OPC=β，∴OP=6，∴OA=12,m=12．

【2017无锡中考第18题】

在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．

【分析解答】

取点E如图所示，则∠OAE=α，∠OEA=45°，∠BOD=α+45°，tan∠BOD=3

2

发掘潜在的2α、2β

已知有3:4:5的直角三角形，其锐角的一半即为所求的α与β，反之，2α、2β也存在着特殊的三角函数值。

【2016甘肃天水第16题】

如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB为根号5，tan∠BOC=1/2，则点A’的坐标为____________．

【分析解答】

tan∠ABO=tan∠BOC=1/2，∴tan∠ABA’=4/3，

即△A’HB三边之比为3:4:5，

再根据BA’=BA=2，

即可求得A坐标． 

【2017宜宾中考第7题】

如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（    ）

A．3       B．24/5    C．5      D．89/16

【分析解答】

考虑tan∠ABD=4/3，tan∠ABE=1/2，

∴AE=3，DE=5．故选C．

3

正方形中的角度构造

正方形是中考最常出现的几何图形之一，由于对角线平分对角使得45°成为常客。

【一个小题目】

在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________．

【分析解答】

观察发现tan∠ADE=1/3，且∠GHD=45°，条件已经具备，考虑GF可动，平移GH，将α、β、45°汇于直角处。可知CF=3，

所以DF长度为3倍根号5．