技巧 | “翻”然领悟：叠题中的秘密

图形的变换，包括图形平移、折叠和旋转三类，是中考的重点、难点、热点，其中折叠问题最为常见，在平时考试中地位举足轻重，极其重要。本文拟从三类折叠问题入手，结合宁波近几年考题，细说折叠类题型所蕴含的规律方法，希望对各位读者有所帮助。

一、菱形中的折叠问题

题1 （2017年宁波中考第18题）

如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG的值为_____.

总结：此法借助“对称点的连线段被折痕垂直平分”，结合等腰三角形“三线合一”的性质，导角分析，将目标角∠EGG转化为∠AEB，顺利解题。

此题其实是2016年哈尔滨中考题的一道变形题，另外和2016年盐城的题也很类似，宁波中考命题人员，拿过来稍微变形，就成了本市的考题。看来多做做省外其他城市的考题，还是蛮有好处的，说不定就守株待兔了。

反思：此题关键是发现FG⊥BC这一结论，再结合菱形性质解题。此题解法多样，以上三种方法思路自然，尤其是面积法的应用，别具一格，让人眼前一亮！

今年镇海区模拟题，也是一道折叠题，题型和以上两题类似，一起来看：

变式（2019镇海模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，M、N分别是边AB、AD上的两点，将△AMN沿MN翻折，使点A恰好与CD上的点A’重合，此时BD⊥MA’，若折痕MN=根号6，则菱形ABCD的面积是______.

二、矩形中的折叠问题

下面看几道矩形中的折叠问题，此类题不难，主要注意的是多种情况的出现：

例3 （直角三角形） 2019江北区模拟

例4 （等腰三角形）鄞州东钱湖、李关弟、实验中学等校3月份模拟

总结：以上提供了两种解题方法，法一构造“一线三直角”，再利用相似比进行巧设，最后用勾股定理计算。（其实，注意到∠AFE=90°，那么很容易想到去构造“一线三直角”）！法一很简单，识别中位线模型，借助相似解题。

来两道模拟题变式，作为练手用，同学们自行研究：

三、三角形中的折叠问题

由折叠对称性可知，∠1=∠2，

已知∠EDC=90°，则∠2+∠3=90°，

且∠1+∠4=90°，

所以∠3=∠4，得证.

总结：此问利用折叠对称后的对应角相等，结合

直角三角形，导角分析，完成证明。

总结：此问求解过程略显复杂，但究其根本是利用折叠不变性，找到了解题的突破口，证明两次全等△BDM≅△B1DN和△ADC≅MDC，

得到AD=DM=DN，再表示出BN

（通过相似△BNE∼BAC），

最后通过△END∼△DAC求出x的值，

利用勾股定理，完美解题。

方法总结

解决翻折类问题，最核心的是研究翻折前与翻折后的变化，尤其是抓住翻折过程中的不变量——图形全等，从而带来角相等和线段相等等几何元素关系.

翻折类问题的思考方式：

（1） 观察翻折前后的不变量：对应全等、垂直平分线；

（2） 研究翻折后的新图形： 翻折后出现的新图形；（3） 用常见模型解题：如全等、勾股、相似等.