一、菱形中的折叠问题
题1 (2017年宁波中考第18题)
如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上,则cos∠EFG的值为_____.
总结:此法借助“对称点的连线段被折痕垂直平分”,结合等腰三角形“三线合一”的性质,导角分析,将目标角∠EGG转化为∠AEB,顺利解题。
此题其实是2016年哈尔滨中考题的一道变形题,另外和2016年盐城的题也很类似,宁波中考命题人员,拿过来稍微变形,就成了本市的考题。看来多做做省外其他城市的考题,还是蛮有好处的,说不定就守株待兔了。
反思:此题关键是发现FG⊥BC这一结论,再结合菱形性质解题。此题解法多样,以上三种方法思路自然,尤其是面积法的应用,别具一格,让人眼前一亮!
今年镇海区模拟题,也是一道折叠题,题型和以上两题类似,一起来看:
变式(2019镇海模拟)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,M、N分别是边AB、AD上的两点,将△AMN沿MN翻折,使点A恰好与CD上的点A’重合,此时BD⊥MA’,若折痕MN=根号6,则菱形ABCD的面积是______.
二、矩形中的折叠问题
下面看几道矩形中的折叠问题,此类题不难,主要注意的是多种情况的出现:
例3 (直角三角形) 2019江北区模拟
例4 (等腰三角形)鄞州东钱湖、李关弟、实验中学等校3月份模拟
总结:以上提供了两种解题方法,法一构造“一线三直角”,再利用相似比进行巧设,最后用勾股定理计算。(其实,注意到∠AFE=90°,那么很容易想到去构造“一线三直角”)!法一很简单,识别中位线模型,借助相似解题。
来两道模拟题变式,作为练手用,同学们自行研究:
三、三角形中的折叠问题
由折叠对称性可知,∠1=∠2,
已知∠EDC=90°,则∠2+∠3=90°,
且∠1+∠4=90°,
所以∠3=∠4,得证.
总结:此问利用折叠对称后的对应角相等,结合
直角三角形,导角分析,完成证明。
总结:此问求解过程略显复杂,但究其根本是利用折叠不变性,找到了解题的突破口,证明两次全等△BDM≅△B1DN和△ADC≅MDC,
得到AD=DM=DN,再表示出BN
(通过相似△BNE∼BAC),
最后通过△END∼△DAC求出x的值,
利用勾股定理,完美解题。
方法总结
解决翻折类问题,最核心的是研究翻折前与翻折后的变化,尤其是抓住翻折过程中的不变量——图形全等,从而带来角相等和线段相等等几何元素关系.
翻折类问题的思考方式:
(1) 观察翻折前后的不变量:对应全等、垂直平分线;
(2) 研究翻折后的新图形: 翻折后出现的新图形;(3) 用常见模型解题:如全等、勾股、相似等.
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