本文介绍不等式e^x≥x+1。
方法一:
【思路】:用导数的方法求解。
解:设y=e^x-(x+1),则:
y’=e^x-1.
令y’=0,则:
e^x-1=0
e^x=1
所以:x=0。
当x>0的时候,y’>0,则y为单调增函数;
当x<0的时候,y’<0,则y为单调减函数;
所以:当x=0,函数y有最小值,即:
y>=ymin=f(0)
e^x-(x+1)>=e^0-(0+1)=1-1=0
即:e^x>=x+1成立。
方法二:
【思路】:用数形相结合的方法求解。
解:设函数f(x)=e^x,g(x)=x+1.
对于函数f(x)=e^x,为自然指数函数,定义域为全体实数,函数在定义域上为单调增函数,值域为:[0,+∞)。对于函数g(x)=x+1,为一次函数,定义域和值域均为全体实数,在定义域范围内,函数为增函数,二者图像示意图如上图:
从图像可,函数g(x)=x+1在函数f(x)=e^x的下方,二者有一个交点为(0,1),所以有:
f(x)>=g(x)
即:e^x>=x+1,成立。
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