凯旋门秘籍第二篇《万象归一》

【引入】

平行四边形的存在性问题，以平行四边形性质为内核，结合分类讨论思想，考察动点存在的可能性。很多教辅书上对于这一题型的讲解是几何法，需要在分类讨论后对四个顶点的相对位置进行考量，需要一定的几何想象能力，学生特别容易漏解，今天介绍的解法是利用代数解题法，可以用在所有的平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题中。

首先，让我们一起回归问题的本质。

提到平行四边形，我们要先回顾相关性质，即平行四边形有什么重要性质？

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①对边平行、对边相等

②邻角互补，对角相等

③对角线互相平分

其中第三条：对角线互相平分是我们今天所要探究的重点。

根据“平分”，我们自然能够联想到一个公式，即中点坐标公式，何为中点坐标公式？如下：

复习这些内容之后，我们就可以开始讲解解题秘籍了。

如图，在平面直角坐标系中画一个平行四边形，四个顶点坐标分别用A、B、C、D表示，对角线交点设为Ｇ点。

根据对角线互相平分的性质，再结合中点坐标公式，我们可以得到一个二元一次方程组，如下：

我们只需将这个方程组同时乘以２，去分母，就化简得到了一个关于对角线顶点坐标的简单公式：

这就是我们的解题秘籍，看起来是否非常有美感呢？大家只需要记住这个方程组，就可以用一法解千题，达到万象归一的至高境界了。

另外，在使用这个公式的时候，我们需要以对角线为标准去进行分类，然而有部分题型在解答过程中是不需要分类的，例如以下两种问法，大家觉得，哪一种需要分类讨论呢？

 问法①：是否存在这样的点，使得以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ为顶点的四边形是平行四边形？

问法②：是否存在这样的点，使得四边形ＡＢＣＤ是平行四边形？

【例题演练】

【真题演练】

【总结】

将平行四边形对角线性质与方程思想结合衍生出的纯代数法公式，可解千题，这一解题原理，可以追溯到解析几何老祖，笛卡尔老师的名言：