平行四边形的存在性问题,以平行四边形性质为内核,结合分类讨论思想,考察动点存在的可能性。很多教辅书上对于这一题型的讲解是几何法,需要在分类讨论后对四个顶点的相对位置进行考量,需要一定的几何想象能力,学生特别容易漏解,今天介绍的解法是利用代数解题法,可以用在所有的平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题中。
提到平行四边形,我们要先回顾相关性质,即平行四边形有什么重要性质?①对边平行、对边相等
②邻角互补,对角相等
③对角线互相平分
其中第三条:对角线互相平分是我们今天所要探究的重点。根据“平分”,我们自然能够联想到一个公式,即中点坐标公式,何为中点坐标公式?如下:如图,在平面直角坐标系中画一个平行四边形,四个顶点坐标分别用A、B、C、D表示,对角线交点设为G点。根据对角线互相平分的性质,再结合中点坐标公式,我们可以得到一个二元一次方程组,如下:我们只需将这个方程组同时乘以2,去分母,就化简得到了一个关于对角线顶点坐标的简单公式:这就是我们的解题秘籍,看起来是否非常有美感呢?大家只需要记住这个方程组,就可以用一法解千题,达到万象归一的至高境界了。另外,在使用这个公式的时候,我们需要以对角线为标准去进行分类,然而有部分题型在解答过程中是不需要分类的,例如以下两种问法,大家觉得,哪一种需要分类讨论呢? 问法①:是否存在这样的点,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形?问法②:是否存在这样的点,使得四边形ABCD是平行四边形?【例题演练】
【真题演练】
【总结】
将平行四边形对角线性质与方程思想结合衍生出的纯代数法公式,可解千题,这一解题原理,可以追溯到解析几何老祖,笛卡尔老师的名言:
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